数学思维与智慧开发 第十八章 归纳与演绎ppt课件.ppt

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1、第十八章归纳与演绎第一节归纳与演绎方法概述在人类认识客观世界的发展历程中，归纳和演绎作为两科t重要的思维方法，曾经起着还必将继续发挥巨大的功能和作用。一般说来，人们认识现实世界中事物的方式，有时候是由认识个别的和特殊的事物，进而认识一般的事物，这种认识方法称为归纳；有时候又由认识一般的事物，过渡到认识特殊的和个别的事物，这种认识方法称为演绎。这是人类认识运动的两种方向相反的思维过程。【例】在对许多个别的三角形的三个角进行度量和计算后，发现三个角的和总是于180。通过归纳就会得到一个一般性认识：“三角形的三个内角和等于180o”。有了这个一般性认识后，当人们要认

2、识某一特殊的三角形比如等腰直角三角形的一个锐角是多少度时，我们就可以由这个一般的认识通过演绎而得到如下特殊的和个别的认识：“等腰直角三角形的锐角等于45”。由此我们还看到，归纳和演绎决不是互相割裂和绝对对立的。它们虽然是互相区别、彼此对立的，然而它们又相互联系、相互依存，在一定条件下互相转化。这就是说，在人们的认识过程中，由个别、特殊到一般和由一般到特殊、个别，总是交错进行着的。是认识的上升运动，它既不是单纯的归纳，也不是单纯的演绎。归纳帮助我们把对于许多个别事物的特殊属性的认识发展为对于一类事物的共同属性的认识。演绎把我们从归纳得出的一般结论作为根据，继续研

3、究那些尚未深入研究或者新出现的个别事物和其他特性，而这一研究也为进一步的归纳准备条件。因此，归纳为演绎提供了作为前提的基础，而演绎又指导并进一步深化着归纳的进行。归纳和演绎就是这样密切的联系着和相互依赖着，互为条件和互相渗透着。在认识事物的过程中，应用归纳和演绎这两种思维方法进行推理，所表现出来的思维形式，我们分别称为归纳推理和演绎推理，也常称为归纳法和演绎法。下面我们将分别阐述。第二节归纳方法1、归纳推理及其分类归纳推理是以某些个别的和特殊的判断为前提，推出一个作为结论的一般性判断的推理形式。【例】三角形三内角和等于多少?(i)单称判断(个别的判断)锐角三角

4、形三内角和等于180；直角三角形三内角和等于180；钝角三角形三内角和等于180。(ii)特称判断(特殊的判断)锐角三角形、直角三角形、钝角三角形构成三角形全体。(iii)全称判断(一般的判断)三角形内角和等于180。本例说明：归纳是推理的一种特殊形式。【例】考察由公式f(n)=n2-n+41给出的数的性质。f(1)=12-1+41=41，是质数；f(2)=22-2+41=43，是质数；f(3)=32-3+41=47，是质数，……结论：由公式f(n)=n2-n+41给出的数是质数。本例说明：归纳常常需要通过试验和观察来得到一些个别的和特殊的判断，以作为归纳的前

5、提。因此，试验与观察是归纳的基础，而归纳则成为人们探索和发现真理的主要工具。对于归纳(以及类比)推理在从事数学创造性科学研究活动过程中的作用，我国数学家徐利治用下图作出了很好的阐述。从具体问题具体素材出发实验归纳推广形成普通命题(猜想)证明类比联想预见1742年，德国数学家哥德巴赫根据对某些大奇数的分解式的考察，如：15=3+5+7，21=3+7+ll，77=7+17+53，46l=5+7+449，……，通过思考、分析而归纳得到一个猜想：任何大于5的奇数都可以分解为三个质数之和。他把这个猜想告诉瑞士数学家欧拉，欧拉在肯定他的猜想的同时，进行了新的试验和观察，经

6、过分析而归纳出一个更简明的命题：任何大于2的大偶数都可以表示为两个质数之和。比如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7，……，这个命题可以推出前一个命题。然而它们还只是根据有限个个别的试验和判断所归纳得到的命题，还没有经过严格的证明，还只能称为猜想。这个猜想被简记为：大偶数=(1+1)。它吸引了许多数学家的注意。从哥德巴赫和欧拉开始至今，许多数学家前赴后继，努力攻克这一世界性的数学难题，但遇到的困难仍很大。1742年，德国数学家哥德巴赫根据对某些大奇数的分解式的考察，如：15=3+5+7，21=3+7+ll，77=7+17+53，46l=5+7+44

7、9，……，通过思考、分析而归纳得到一个猜想：任何大于5的奇数都可以分解为三个质数之和。他把这个猜想告诉了瑞士数学家欧拉。欧拉在肯定他的猜想的同时，进行了新的试验和观察，经过分析而归纳出一个更简明的命题：为了对归纳推理进行较深入的研究，我们根据归纳过程中的特点，即根据归纳的前提是考察了一类对象的全体，还是仅仅考察它的部分，把它分为完全归纳法和不完全归纳法。2、不完全归纳法不完全归纳法是以某类对象中个别的或特殊的部分对象具有(或不具有)某种属性为前提，推出该类事物具有(或不具有)该属性的一般结论的推理方法。【例】考察相邻两个奇数(偶数)的乘积与它们中间的数的关系。

8、1×3=3=22-12×4=3=32-