无穷级数和微分方程备考2019年一级注册结构工程师基础考试PPT课件.ppt

《无穷级数和微分方程备考2019年一级注册结构工程师基础考试PPT课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.4无穷级数1.4.1数项级数1.4.2幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.4.3傅立叶级数求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。1.4.1数项级数给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和。1.数项级数定义2.基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,即其和为cS.性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可

2、证)性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质5：设收敛级数则必有可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.等比级数(又称几何级数)(q称为公比).级数收敛,级数发散.其和为3.几个重要级数的收敛性调和级数发散(常数p>0)p-级数*例1.判断级数的敛散性:解:该级数是下列两级数之差故原级数收敛.(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k>0),4

3、.审敛法正项级数：(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0

4、敛的级数一定收敛.例5.证明下列级数绝对收敛:证:而收敛,收敛因此绝对收敛.判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1）比值审敛法（根值审敛法）2）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛发散发散收敛收敛发散1.Abel定理若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式1.4.2幂级数*例6.已知幂级数在处收敛，则该级数在处是收敛

5、还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理，该幂级数在处绝对收敛，故在绝对收敛。例7.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为若的系数满足1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,则的收敛半径为2.求收敛半径对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为例8..求幂级数3.求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形（如果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围(P34例1-37)1.求傅立叶级数展开式2.求某个傅立叶系数3.

6、求和函数在某些点的值1.4.3傅立叶级数的有关问题例9.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为(3)将f(x)展成傅里叶级数.解:(3)先求傅里叶系数1.5微分方程1.5.1微分方程的基本概念1.5.2解微分方程1.5.3微分方程应用1.5.1微分方程的基本概念一阶微分方程二阶微分方程1.判定微分方程的阶2.判定函数是否微分方程的解，通解或特解例1.验证函数是微分方程的解.解:是方程的解.1.5.2解微分方程1.一阶微分方程可分离变量，一阶线性2.高阶微分方程二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。*例2.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常

7、数)因此可能增、减解.解*例3.利用一阶线性方程的通解公式得：例4.曲线族所满足的一阶微分方程是____.解:对两边求导，得即为所求一阶微分方程特征方程:实根特征根通解二阶线性常系数齐次微分方程求解例5.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例6.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为*例7.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例8.解