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1、实际生活中充满了模糊概念,例如,要你某时到飞机场去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.精确概念:时间、地点、男人模糊概念:大胡子、高个子、长头发、宽边眼镜、中年人模糊概念是存在的,也是必须的,更是重要的。人类大脑对于模糊性概念具有较强的处理能力,模糊数学研究处理模糊概念的理论和方法,从而让机器人具有人一样的思维能力,是人工智能的重要学科之一。1.模糊子集精确概念的数学模型:用论域的经典子集刻画。经典子集合范围边界分明,即:一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA),二者必居其一.U的子集A的数学模型还可以用特征函数来表示特征函数满足
2、:取大运算,如2∨3=3取小运算,如2∧3=2那么模糊概念呢?秃头悖论:头上掉一根头发,不是秃头;再掉一根,也不是秃头……按照此逻辑下去当秃头出现的时候还不是秃头。什么原因呢?秃头本身是一个模糊概念那么如何刻画模糊概念呢?特征函数中函数值仅取0,1值,非此即彼,缺乏程度化,或者缺乏量化。模糊子集与隶属函数设U是论域,称映射A(x):U→[0,1]为U上的一个模糊子集A。映射A(x)称为A的隶属函数,它表示x对A的隶属程度.当A(x)=0.5时,点x最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时,模糊子集A就是经典子集,而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.例1
3、设论域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集),在U上定义一个模糊集:A=“质量好的商品”。A=(0.8,0.55,0,0.3,1).表示方法1表示方法2例2设论域U={1,2,...,100}(年龄集合),在U上定义一个模糊集:A=“年轻人”。表示方法3模糊集的运算相等:A=BA(x)=B(x);包含:ABA(x)≤B(x);并:A∪B的隶属函数为(A∪B)(x)=A(x)∨B(x);交:A∩B的隶属函数为(A∩B)(x)=A(x)∧B(x);余:Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).模糊集的并、交、余运算性质幂等律:A∪A=A,A∩A=A;交换律:A∪B=B
4、∪A,A∩B=B∩A;结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);吸收律:A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A;分配律:(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);0-1律:A∪U=U,A∩U=A;A∪=A,A∩=;还原律:(Ac)c=A;模糊集的运算性质基本上与经典集合一致,除了排中律以外,即A∪AcU,A∩Ac.模糊集不再具有“非此即彼”的特点,这正是模糊性带来的本质特征.-截集:模糊集的-截集A是一个经典集合,由隶属度不小于的成员构成.即:A={x
5、A(x)≥}例3:论域U={u1,
6、u2,u3,u4,u5,u6}(学生集),他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95,A=“学习成绩优秀的学生”的隶属度分0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95,则A0.9={u5,u6}。2.模糊关系经典关系,例如,父子关系,同桌关系;模糊关系,例如,两人长得很像,某某很喜欢某某;经典二元关系XY的子集R称为从X到Y的二元关系,特别地,当X=Y时,称之为X上的二元关系,简称为关系.若(x,y)R,则称x与y有关系,记为R(x,y)=1;若(x,y)R,则称x与y没有关系,记为R(x,y)=0.映射R:XY{0,1}实际上是XY的子集R的特征函数.
7、模糊关系是普通关系的推广.设有论域X,Y,XY的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系.模糊子集R的隶属函数为映射R:XY[0,1].特别地,当X=Y时,称之为X上各元素之间的模糊关系.经典关系是模糊关系的特例.模糊关系用模糊矩阵表示模糊关系的运算由于模糊关系R就是XY的一个模糊子集,因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.设R,R1,R2均为从X到Y的模糊关系.相等:R1=R2R1(x,y)=R2(x,y);包含:R1R2R1(x,y)≤R2(x,y);并:R1∪R2的隶属函数为(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y);交:R1∩R2的隶属函数为
8、(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y);余:Rc的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).模糊关系的合成当论域为有限时,模糊关系的合成可以用其对应模糊矩阵的乘法来实现.只不过这里的模糊矩阵的乘法不同于常规矩阵的乘积,但模式是一样的。模糊关系的合成设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn},且X到Y的模糊关系R1=(aik)m×s,Y到Z的模糊关系R2=(bkj)s×n,则X到Z的模糊关系R1°R2可表示为对应模糊矩阵的乘积