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1、第四章378700000解析函数幂级数表示法解析函数幂级数的表示法1复数项级数2幂级数3Taylor级数4函数的零点南开大学魏雅薇复变项级数1复数列的极限2复数项级数南开大学魏雅薇复数列的极限称为复数列,简称为数列,记为定义 设是数列，是常数.如果e>0,存在正整数N,使得当n>N时,不等式成立,则称当n时,收敛于或称是的极限,记作或南开大学魏雅薇复数列收敛与实数列收敛的关系即同理定理的充分必要条件是证明如果则存在正整数N,从而有使得当n>N时,南开大学魏雅薇从而有该结论说明:判别复数列的敛散性可转化为判别两个实数列的敛散性.反之,如果那么存在正整数N,使得当n>N时,所以南开大学魏
2、雅薇下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.而解例所以数列发散.南开大学魏雅薇复数项级数为复数项级数.称为该级数的前n项部分和.设是复数列,则称南开大学魏雅薇级数收敛与发散的概念定义 如果级数的部分和数列收敛于复数S,则称级数收敛,这时称S为级数的和,并记做如果不收敛，则称级数发散.南开大学魏雅薇复数项级数与实数项级数收敛的关系定理级数收敛的充要条件是都收敛,并且证明 由南开大学魏雅薇及复数列收敛与实数列收敛的关系即可得证。说明复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题定理级数收敛的充要条件为：对任意的存在正整数N,当n>N且p为任意正整数时，由柯西收敛准则当p=1时，则有，即收敛级数的
3、通项必趋于零。级数收敛的必要条件推论如果级数收敛,则证明 由定理及实数项级数收敛的必要条件知,重要结论:发散.于是在判别级数的敛散性时,可先考察?南开大学魏雅薇解因为级数收敛,所以原复数项级数发散.例级数是否收敛?发散,而级数南开大学魏雅薇非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.定义 设是复数项级数,如果级数收敛,则称级数绝对收敛.绝对收敛级数的性质定理 若级数绝对收敛,则它收敛,并且南开大学魏雅薇证明由于而级数收敛,由正项级数收敛的比较判别法,知和收敛.从而和绝对收敛,故收敛.因此级数收敛.因为所以南开大学魏雅薇补充因为所以综上可得:因此,如果和都绝对收敛时,也绝对收敛.绝对收敛和都绝对收
4、敛.南开大学魏雅薇都收敛,故原级数收敛.但是级数条件收敛,所以原级数非绝对收敛,是条件收敛的.解因为例级数是否绝对收敛?南开大学魏雅薇定理 设是收敛数列，则其有界,即存在M>0,使得定理 设和都是绝对收敛级数,令则(柯西积)级数绝对收敛,并且南开大学魏雅薇函数项级数函数项级数一致收敛的复函数项级数南开大学魏雅薇为复变函数项级数.为该级数前n项的部分和.设是定义在区域D上的复变函数列,称函数项级数南开大学魏雅薇称为该级数在区域D上的和函数.如果对级数收敛,即则称级数在点收敛,且是级数和.如果级数在D内处处收敛,则称其在区域D内收敛.此时级数的和是函数南开大学魏雅薇一致收敛的复函数项级数定义:
5、如果任给可以找到一个只与有关,而与z无关的正整数,使得当时,有那么我们说级数在E上一致收敛于f(z).南开大学魏雅薇和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理：柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变函数项级数在E上一致收敛的必要与充分条件是：任给,可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数,使得当p=1,2,3,…时，有南开大学魏雅薇设在复平面点集E上有定义，并且设是一个收敛的正项级数.设在E上，那么级数在E上绝对收敛且一致收敛。南开大学魏雅薇一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）设的各项{fn(z)}(n=1,2,…),在复平面点集E上连续，并且一致收敛于f(z),那
6、么f(z)在E上连续.南开大学魏雅薇与数学分析中平行的定理在E上定理设级数的各项fn(z)(n=1,2,…),在简单曲线C上连续，并且级数南开大学魏雅薇定理在C上一致收敛于f(z),那么在C上可以逐项积分注解1、在研究复变函数项级数的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数；南开大学魏雅薇注解2、我们主要用摩勒拉定理及柯西公式来研究和函数的解析性及其导数。内闭一致收敛：设函数南开大学魏雅薇定义在复平面C上的区域D内，如果级数在D内任一有界闭区域上一致收敛于f(z)，那么此级数在D中内闭一致收敛于f(z)。定理：级数在圆内K:
7、z-a
8、9、R,级数在闭圆上一致收敛。定理（魏尔斯特拉斯定理）南开大学魏雅薇设函数在区域D内解析并且级数在D内闭一致收敛于函数f(z),那么f(z)区域D内解析,并且在D内证明：在D内任一点z0，则有r>0,使得闭圆全含于D内。若C为D内任一周线，由柯西定理再由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。其次，设的边界即圆K也在D内，于是南开大学魏雅薇且在D内闭一致收敛于函数f(z),并且是连续的，从而f(z)在闭圆连续，并且于是
