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1、第3章控制系统建模3.1简单机械系统的建模3.2简单流体系统的建模3.3永磁体直流电机的建模3.4光源跟踪伺服系统的建模与系统分析3.1简单机械系统的建模3.1.1弹簧振动系统的建模考虑图2.1所示的简单机械系统。选择垂直向下的方向为正方向,根据系统力平衡关系可以得到mg-ks0=0(3.1)如果系统受到正方向的外力,则力平衡方程变成(3.2)图3.1弹簧振动系统的示意图其中,y(t)是距离平衡点的偏移距离。以上是非阻尼条件下的系统方程。现在,假设系统浸入到一种粘性物质中,则系统将受到与其瞬时速度方向相反的阻尼力的作用。当系统以较慢速度运动时,系统受到的阻尼力与其运动的速度
2、成正比,而方向相反。假设这时的阻尼系数为常数c,整个系统的平衡方程为(3.3)3.1.2摩托车缓冲系统的建模考虑图3.2所示的摩托车示意图。设计摩托车缓冲系统的目的是减小车辆在崎岖道路上行驶时产生的震动。道路表面的不平坦会引起摩托车沿垂直方向的移动和沿某个轴的转动。忽略轮胎的质量,这样整个系统由车架和驾驶员组成。图3.2摩托车系统示意图摩托车缓冲系统的力平衡示意图如图3.3所示。我们将整个系统的质量中心作为坐标的原点,因此系统在不平道路上的振动运动可以看作是质心的沿垂直方向的平移运动以及沿质心的旋转运动。摩托车架以及驾驶员可以整个视作质量为M,转动惯量为J的刚体。输入车轮的
3、位置信息Ya、Yb表明路况信息。假设每个车轴的缓冲系统由具有阻尼特性的弹簧构成。因此,每个车轮受到的外力为弹簧弹力与阻尼力之和,即(3.4)图3.3摩托车缓冲系统的力平衡示意图ya和yb分别表示每个弹簧距离参考位置的瞬时距离。用Y(t)和θ(t)分别表示系统质心的平移位移和沿质心的旋转角度。对于单个弹簧有(3.5)上式中假定在很小的角度位置条件下满足sinθ=θ,并且θ取逆时针的旋转方向为正方向，如图3.4所示。图3.4摩托车缓冲系统垂直位置与旋转角度的几何分析将式（3.5）代入式（3.4）中,得到Fa=(cas+ka)［Ya-(Y-θLa)］Fb=(cbs+kb)［Yb-
4、(Y+θLb)］(3.6)或者定义Za=cas+ka,Zb=cbs+kb,得到Fa=Za［Ya-(Y-θLa)］Fb=Zb［Yb-(Y+θLb)］(3.7)或者Ms2Y=Za［Ya-(Y-θLa)］+Zb［Yb-(Y+θLb)］整理后得到(Ms2+Za+Zb)Y-(ZaLa-ZbLb)θ=ZaYa+ZbYb(3.9)最后根据牛顿第二运动定律,有上式给出了摩托车缓冲系统的力平衡方程,同时假定车架和驾驶员在初始位置没有垂直方向上的速度（Y0=0,dY/dt
5、0=0）。如果对上述系统建立关于质心位置的力矩平衡方程,可以得到另一个系统方程，即(3.10)或者Js2θ=ZbLb［Yb
6、-(Y+θLb)］-ZaLa［Ya-(Y-θLa)］(Js2+ZaL2a+ZbL2b)θ-(ZaLa-ZbLb)Y=-ZaLaYa+ZbLbYb(3.11)再次假定初始条件为零(θ0=0，dθ/dt
7、0=0)，最后将力和力矩平衡方程写成矩阵形式整理得(3.12)写成简化形式(3.13)用Aij和Bij可以表示Y和θ为(3.14)最终系统模型可以用如图3.5所示的框图表示。图3.5摩托车缓冲系统的方框图以上系统中假定Ya和Yb是系统两个相互独立的输入变量,但实际上,后轮与前轮的位置信号相差Δt=L/V时间。这样,实际系统满足Yb(t)=Ya(t-Δt)。如果定义系统状态分别为
8、Y、dy/dt和dθ/dt,还可以计算出系统的状态方程描述。另外一种得到整个系统传递函数的方法是通过模型方框图进行计算。然后，在此基础上可以对该系统进行时域和频域的仿真,具体计算过程留给读者练习。3.2简单流体系统的建模3.2.1单个蓄水槽的动态模型考虑图3.6所示的单个蓄水槽模型,其槽底的液体流出速度是由槽内的液压决定的。各部分的含义为：A—蓄水槽的表面区域；V—水槽的容积；Ae—水槽出口处的连通部分；P1—槽底的液压。图3.6单个蓄水槽模型液体的输出压强为Pa,输出液体的速率作为系统的输入。系统的状态变量包括槽内液体的高度,其系统输出为液体流出的速率We。根据系统的物质
9、平衡,可得到(3.15)假设蓄水槽的四周壁是垂直的,槽内液体的质量是液体的密度乘以液体的体积，有(3.16)(3.17)输出液体的质量可以写成输出速率的函数(3.18)根据出口处的能量平衡（w=w1=w2）,可以得到(3.19)假定整个系统不存在能量或物质的滞留,并且忽略内部能量的变化（u1=u2,z1=z2）,则根据能量守恒原理得到(3.20)显然该系统的状态方程是一阶非线性的,槽内液体质量的瞬时变化等于输入的液体速率减去输出的液体速率,槽内的液体质量和输出液体的速率都视作t时刻液体高度的函数。下面来定义液体的阻
