第7章最小二乘法ppt课件.ppt

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1、误差理论与数据处理——最小二乘法的原理与应用HarbinInstituteofTechnology主要内容7.1最小二乘法的一般描述7.2最小二乘法的正规方程7.4最小二乘法的应用举例7.3最小二乘法的精度分析7.1最小二乘法的一般表述最小二乘法的基本概况：最小二乘法（LeastSquareMethod）是实验数据处理的一种基本方法。它给出了数据处理的一条准则：即在最小二乘意义下获得的最佳结果(或最可信赖值)应使残差平方和最小。基于这一准则所建立的一整套理论和方法，为随机数据的处理提供了行之有效的手段，成为实验数据

2、处理中应用广泛的内容之一。最小二乘法的应用领域：数理统计，回归分析，参数估计，系统辨识HarbinInstituteofTechnology7.1最小二乘法的一般表述最小二乘法的发展历史：(1).1795年，德国科学家Gauss在星体轨道预报研究中定义：“未知量的最可能值是这样一个值，它使得实测值与计算值的差的平方和乘以测量精度后所求得的和最小”。1809年出版著作。(2).1805年，法国科学家Legender独立提出“最小二乘法”，与Gauss争执第一提出者。(3).20世纪60年代，瑞典科学家K.J.Åstr

3、öm将最小二乘法应用到动态系统的辨识中。HarbinInstituteofTechnologyHarbinInstituteofTechnology7.1最小二乘法的一般表述最小二乘法问题的提出：这个问题有如下特点：(1).待求的量是电感和电容，但直接测量量是电抗。(2).测量是在不同条件下或状态下进行的，n》2<1>.n.n=t,且方程组矩阵的秩为n方程组只有唯一的解<3>.n>t,方程组无解7.1最小二乘法的一般表述最小二乘法问题的提出：测量数据测量数据存在误差增加测量数据方程数目多

4、于自变量数目Claimer法则无法提供代数解充分利用n个测量结果提供的信息测量数据在无偏、正态和独立的条件下，和的最信赖结果应在测量残差的平方和最小条件下求得此条件下，得到的与被认为是最可信赖的，测量数据越多，与越可靠HarbinInstituteofTechnology7.1最小二乘法的一般表述为确定t个未知量的估计量分别直接测量n个直接量，得测量数据。设有函数关系：（7-1）若直接量的估计量分别为则可得关系：（7-2）最小二乘法问题的残差方程：HarbinInstituteofTechnology7.1最小二乘

5、法的一般表述测量数据的残差应为即式(7-3)或式(7-4)成为残差方程。（7-3）（7-4）HarbinInstituteofTechnology7.1最小二乘法的一般表述若测量误差是无偏的（，即排除系统误差），服从正态分布，且相互独立，并设其标准差分别为，则测量结果出现在附近区域内的概率（图7-1）为（7-5）式中，分别为测量结果的测量误差。最小二乘法问题的概率乘法：HarbinInstituteofTechnologyHarbinInstituteofTechnology7.1最小二乘法的一般表述最小二乘法问题

6、的概率乘法：根据概率乘法定理，给测量数据同时出现的概率应为（7-6）又根据等精度测量，等方差检验原理，极大似然定理，测量值事实上已经出现，故P应为最大。即待求量的最可信赖值的确定应满足概率P最大。由式（7-6）知，应满足（7-7）7.1最小二乘法的一般表述HarbinInstituteofTechnologyHarbinInstituteofTechnology等精度测量(equallyaccuratemeasurement)等精度测量：是指在测量条件（包括量仪、测量人员、测量方法及环境条件等）不变的情况下，对某一

7、被测几何量进行的多次测量。相反，在测量过程中全部或部分因素和条件发生改变，称为不等精度测量。不同的实验室在相同的条件下对相同的试样进行的多次重复测量，或同一个人在相同的试验条件下，在较长的时间内对同一试样进行的多次重复测量，有可能是等精度测量，亦可能是非等精度测量，是否为等精度测量，需对测量的方差进行等方差检验。7.1最小二乘法的一般表述HarbinInstituteofTechnology等方差性检验(testforequalvariance)从统计上检验各方差在给定的显著性水平下是否齐性(一致性)。检验方差齐性

8、的方法有c2-检验法，F-检验法，巴特莱检验法，科克伦检验法，哈特利检验法等。7.1最小二乘法的一般表述HarbinInstituteofTechnology极大似然估计法求估计的另一种方法。它最早由高斯提出。后来为费歇在1912年的文章中重新提出，并且证明了这个方法的一些性质。极大似然估计这一名称也是费歇给的。这是一种目前仍然得到广泛应用的方法。它是建立在