线性代数资料报告材料.docx

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1、线性代数的应用研究——矩阵在实际生活中的应用建筑环境与能源应用工程1班嘉威3013214105杜澎磊3013214106宋子旭3013214127前言近几十年来，随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域(包括力学、电子等学科以及土木、机电等工程技术)迅速扩展到非物理领域(人口、经济、金融、生物、医学等)。数学在发展高科技、提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显。这就要求我们如何将实际问题经过分析、简化，转化为一个数学问题，然后用一个适当的数学方法去解决。线性代数是一个数学分支，是代数的一个重要学科它对于培养学生严谨的逻辑推理和抽象思维能力起着不

2、可或缺的作用。线性代数研究最多的是矩阵。矩阵是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。也就是说如果抽象出某种变化规律，就可以用代数的理论对研究的数表进行变换，并得出想要的一些结论。所以，矩阵是一种方便的计算工具，可以以简单的形式表示复杂的公式，比如数字图像处理、计算机图形学、计算几何学、人工智能、网络通信以及一般的算法设计和分析等。因此，矩阵的应用日趋广泛，很多领域都要用到矩阵的知识。本文将要探讨的，就是矩阵在实际生活中的一些应用形式。经过分析和筛选，本文将从以下三个方面展开论述：可逆矩阵在通信中的应用，矩阵与成本利润的计算以及矩阵与数字图像。一、可逆矩阵在通信中的应用随着计算机与网

3、络技术的迅猛发展，通信技术中的工作显得尤为重要，怎样确保通信过程息的安全变得至关重要，因此大量各具特色的密码体系不断涌现。矩阵作为线性代数的重要组成部分，其应用领域也从传统的物理领域迅速扩展到非物理领域，尤其是在通信中发挥着重要作用。（一）可逆矩阵1、矩阵矩阵的定义：m行n列的矩形数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵，矩阵用大写黑体字母A，B，C，…表示。如：A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn这m×n个数称为矩阵A的元素，aij称为矩阵A的第i行第j列元素，一个m×n矩阵A也可简记为A=(aij)m×n或Am×n。矩阵加法：设有两个m×n矩阵A=(aij)

4、，B=(bij)，矩阵A与B的和记作A+B，规定为A+B=（aij+bij）m×n。矩阵乘法：设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n。矩阵A与矩阵B的乘积记作AB，规定为AB=(cij)m×n其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=k=1saikbkj(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)。2、矩阵的逆于n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=1，则称矩阵A为可逆矩阵，而矩阵B称为A的逆矩阵。记作A-1，即A-1=B。（二）通信1、背景自从人类有了文字书写之后，就考虑使用一些手段来保障通信的，防止被获取甚至被篡改。早期的古典密码，如人类最早由记载的棋盘密

5、码、恺撒密码、维吉尼亚密码等，相对比较简单。直到第二次世界大战，关于通信的加密、解密取得了许多进展，研制成了“隐谜机”，也就是从这个时期开始，关于通信的加密解密开始成为一门专门的学科，包括数学家在的许多科学家投身其中进行深入的研究。20世纪末开始，计算机的发展带来了通信的变革，为了保证数据通信的安全，其加密解密的研究也迎来了巨大发展。尤其是21世纪初，电子商务的广泛应用，以及智能手机的介入，对信息的传输过程中的安全性和可靠性提出了更高要求。而通信作为实现信息安全的有效手段，在这其中起着举足轻重的作用。在通信过程中，基本思路是通过对身份的验证、对传输信号的加密，来确保通信的。因此通信主要涉及加密

6、、解密的理论。2、模型通信过程中，存在明文和密文两个概念。想要发送的信息称为明文，通过某种方法进行伪装或隐藏的信息称为密文。通信过程中，发送方会通过某种算法对明文数据进行加密，通过加密后转换成密文数据再发送给接收方，接收方再通过相应的某种算法，对密文数据进行解密转换，就变成了明文数据。这个过程就是加密解密的过程，其中的某种算法就是密钥，这也就是数据通信的模型，具体如下图所示:（三）通信中可逆矩阵的应用利用矩阵对通信信息进行编码，即将明文转换成密文发送给接收方，而接收方再通过相应的逆运算将密文编译成明文，就完成了信息的传递。1、通讯中可逆矩阵的编码过程设矩阵A为明文矩阵，矩阵B为加密矩阵（密钥）

7、，用明文矩阵与加密矩阵的乘积来实施对所发消息的加密，这样就得出密文矩阵C=AB。如果矩阵B是可逆矩阵，则矩阵方程C=AB有唯一解C=AB-1，其中B-1是B的逆矩阵。这样，发送方将信息通过可逆矩阵进行加密编码成密文矩阵C=AB发出，接收方接收后再右逆矩阵B-1，就可得到明文矩阵A。2、加密矩阵（密钥）的生成如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密矩阵和求出其逆矩阵作为解密矩阵是利用可逆矩阵实现通信