练习4[一].5—4.7和自测题题解.doc

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1、练习4.5第二类曲面积分一、设S为球面的外侧，计算.解：记S+、S—分别为球面S位于面的上面部分和下面部分，则.二、计算，S为椭球面的上半部分下侧.解：=，由对称性知，，因此，.三、计算，S为球面的上半部分上侧.解：，类似地，有，，因此，.四、设S为平面与三个坐标面所围立体的表面的外侧，计算.解：记S在在三坐标面上的部分分别为S1、S2、S3，其余部分为S4，则.五、计算，S为椭球的外表面.解：由于是间断面，本题不能用Gauss公式，下面直接计算.，由对称性得.练习4.6高斯（Gauss）公式、通量一、计算，S为锥面的外表面.解：利用Gauss公式

2、，补一个，则.二、计算，S为球面的外侧.解：由Gauss公式得.三、计算，S为曲面的外侧.解：曲面积分的积分区域S的方程可代入被积函数，因而（Gauss公式）.四、求向量的散度，并计算此向量穿过曲面的侧表面（流向外侧）的通量和穿过整个表面的通量.解：；；同理，穿过整个表面的通量为0（或由Gauss公式求之）.五、计算，S为球面的外表面.解：记，利用Gauss公式得：，注意到积分、、的物理意义（静矩），而球的形心为球心，因此，有，，，故.练习4.7Stokes公式环量与旋度一、计算，L为曲线，从轴正向往轴负向看L的方向为顺时针的.解：，方向与轴正向夹

3、钝角,S在面上的投影为，由Stokes公式得.二、计算，其中L为平面截立体：的表面所得的截痕，若从轴的正向看去，取逆时针方向.解：由Stokes公式有,再化为第一类曲面积分，S的方向余弦为，因此三、计算，其中L由沿螺线到点的一段.解：，因此，积分与路径无关，从而，=.四、求向量的旋度，并计算此向量沿闭曲线（从z轴正向看去为逆时针方向）的环流量.解：=自测题（第四章）一、填空题1．设曲线，则2．若C为圆周，依逆时针方向，则3．若S为下半球面，则4．若S为下半球面的上侧，则5．设向量，则二、选择题1．若S为正八面体的表面，则(C).（A）（B）（C）0

4、（D）2．曲面积分表示的是(D).（A）曲面S的面积（B）曲面S在面上投影D的面积（C）不是S的面积，也不是投影D的面积（D）可能不是S的面积.3．设，则下列结论正确的是(B).（A）对任意光滑闭曲线都有（B）设G为一不包含原点的开区域，则积分在G内与路径无关（C）记，则（D）设L为包含原点的任意简单闭曲线，则.三、计算，S是半球面，.解：由对称性得：,由得：，，所以，，因此，.四、计算，S是圆柱面被平面所截下的部分，方向指向外侧.解：应将S向面投影，为此需将S表示为单值函数,记，，则,接下来，分别求出、在面上的投影区域,由于是由被及所截，故从与中

5、消去，得，从而在面上的投影区域为，类似地可得在面上的投影区域为，由此根据所给定的侧，可得.五、计算，S为上半球面的上侧.解：S不封闭，增加曲面取下侧，则由Gauss公式得（球坐标）,而因此.六、计算，S为平面在第IV卦限部分的上侧.解：由于S为一平面，因而容易将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分,平面S的法向量，其方向余弦为，，于是有.七、计算，L为从点沿曲线到点的弧，为正的常数.解：增添一条从点到点的有向直线段，L与围成的平面区域为D，由Green公式有.习题18.7，答案有误，更正为：二、–18；四、3π.