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1、第四章线性系统的能控性和能观性4.1线性系统能控性和能观性的概念4.2线性离散系统的能控性4.3线性定常系统的输出能控性4.4线性定常连续系统的能观性4.5线性定常连续系统的能观性4.6线性定常离散系统的能观性4.7G(s)为能控性和能观性的关系4.8线性定常系统结构分解4.9最小实现教学要求：1.正确理解定常和离散系统可控性与可观性的基本概念与判据。2.熟练掌握能控标准型与能观标准型。3.掌握对偶原理，规范分解方法。4.理解传递函数的实现问题，重点内容：能控、能观的含义和定义。定常系统的能控、能观的各种判据。线性变换的不变性
2、。实现与最小实现的特点和性质。研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统.含义1:控制作用:对状态变量的支配能控性.系统输出能否反映状态变量能观性.含义2:能控性:能否找到使任意初态确定终态能观性:能否由输出量的测量值各状态多变系统两个基本问题:在有限时间内,控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态?在有限时间内,能否通过系统输出的测量估计系统的初始状态?简单地说:如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统能控(状态能控).如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则
3、称系统是状态能观测的.例1:给定系统的状态空间描述:解:展开表明:状态变量,都可通过选择输入u而由始点终点完全能控.输出y只能反映状态变量,所以不能观测.例2:取和作为状态变量,u—输入,y=--输出.+-uL(1)当状态可控，可观测(2)当u只能控制，不可控，不可观测．4.1线性系统能控性和能观性的概念含义：能控性：u(t)x(t)状态方程能观性：y(t)x(t)输出方程定义：设若存在一分段连续控制向量u(t)，能在内将系统从任意状态转移到任意终态，则该系统完全能控．说明：任意初态(状态空间中任一点),零终态＝０能控零初态任
4、意终态能达2.定理1例：判断能控性解：rank=2<3,不能控对于：行数＜列数的情况下求秩时：rank=rank定理2：若，若Ａ为对角型，则状态完全能控的充要条件为：Ｂ中没有任意一行的元素全为零．例：线性系统的状态方程为其中：试判断该系统的能控性．解：如果rank=2,则必须要求定理3：设，若Ａ为约当型，则状态完全能控的充要条件是：对应的每一个约当块的最后一行相应的Ｂ阵中所有的行元素不全为零．例：设系统的状态方程为其中：试判断系统的能控性．解：而b1是任意值，且rank=2则该系统能控．当Ａ的特征值,，且则可以经过将A化为约当
5、型.如下:且由的最后一行组成的矩阵：例：设，已知行线性无关不全为零能控线性变换后系统的能控性不变设令则：其中：系统的能控性不变定理4：设如果系统能控，则则必存在一个非奇异变换可将状态方程化为能控标准型：其中：且：证明：(由推得)例：求能控标准型．解：rankSc=2能控则4.2线性离散系统的能控性定义：设线性定常离散系统的状态方程:其中若存在控制向量序列能在有限时间内，将系统第从k步的X(k)转移到至第n步的x(n)=0，则称系统在第k步上是能控的．如果每个k系统的所有状态能控，则称系统为完全能控．定理：设则系统完全能控的充要
6、条件：rankSc=n其中：证明：(以单输入为例)设假设：这里x(0)是任意的为满秩矩阵可求出u(0),u(1),u(n-1)例1：判断系统的能控性．解：该系统能控若已知求u(0),u(1),u(2)设x(3)=0解得：因此，对于任意x(0)，都能求出u(0),u(1),u(2),使x(0)x(3)=0例2：判断能控性能否存在对任意x(0)x(1)=0？解：rankSc=3因此该系统能控所以一定可使任意x(0)x(3)=0但不能对任意x(0)x(1)=04.4线性定常系统的输出能控性在分析和设计控制中,系统的被控量往往不是系统
7、的状态,而是系统输出,必须研究系统的输出是否能控.设:定义:在上,任意解出u(t),输出能控．定理：系统输出完全能控的充要条件：例：判断系统是否输出能控．解：rank[CBCABD]=rank[1-20]=1=q输出能控rankSc=rank[bAb]=1<2状态不能控4.5线性定常连续系统的能观性在实际工程实践中,往往需要知道状态变量,而由于各种原因,不一定都能直接获取,但输入变量总是可以获取和测量的.能观性—能否通过对输出的测量来确定系统的状态变量．设线性定常连续系统状态空间表式：定义：对任意给定u(t)，在内输出y(t)
8、可唯一确定系统的初态x(),则系统是完全能观的．yx()能观yx()能检确定确定定理1：系统状态完全能观的充要条件：证明：设这里：是一个单位阵．要使y(t)x(0)确定定理2:若A为对角型，则系统完全能控能观的充要条件是：输出阵C中没有任何一列的元素全为零．例：系统状态方程为
