第四章-不定积分ppt课件.ppt

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1、微积分第四章不定积分不定积分前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积分两部分。本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。重点原函数与不定积分的概念基本积分公式换元积分法分部积分法难点换元积分分部积分基本要求①正确理解原函数和不定积分概念②熟记基本积分公式③熟练地运用换元积分法和分部积分法§4-1不定积分概念和性质一般地：定义：一、原函数与不定积分的概念例练习一：1、是cosx的原函

2、数。2、cosx是一个的原函数。3、2x的原函数是。关于原函数的说明：(1)是否任何一个函数都存在原函数？结论：连续函数一定有原函数.（2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有什么联系？练习二1、sinx的全体原函数是。2、x的全体原函数是。任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可例1求解解例2求练习三：求不定积分1、2、3、练习三：求不定积分1、2、3、4、判断题解由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运

3、算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表基本积分表是常数);以上13个公式是求不定积分的基础，称为基本积分表，必须熟练掌握。例4求积分解根据积分公式（2）练习四:求不定积分1、2、3、解：1、2、3、练习1、2、3、4、5练习1、2、3、4、5证等式成立.此性质可推广到有限多个函数之和的情况三、不定积分的性质即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合这说明不定积分具有线性运算性质例5求积分解注意检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数练习六：求积分1、23解：1、23例6求积分解例7求积分解例8解说明：

4、以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.练习七1、23解1、解2：解3：说明①求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一个函数的原函数有无穷多个，即要求的是全体原函数，若不加积分常数则表示只求出了一个原函数②写成分项积分后，积分常数可以只写一个③积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上只相差一个常数基本积分表不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系小结§4-2换元积分法换元积分法直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两

5、大基本方法——换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法——换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。问题？解决方法设置中间变量：换元一、第一类换元法例1求解练习1：（1）求不定积分解1例1求解练习（2）求不定积分解解第一类换元法(凑微分法)步骤：1、凑微分2、用公式求微分练习2（1）、（2）、（3）、（4）、练习2解（1）、（2）、（3）、（4）、凑微分练习3（1）、（2）、（3）、（4）、凑微分练习3解：（1）、（2

6、）、（3）、（4）、凑微分练习4（1）、（2）、（3）、（4）、凑微分练习4解：（1）、（2）、（3）、（4）、用公式例2、（1）（2）、（3）、用公式练习5（1）、（2）、（3）、用公式练习5解：（1）、（2）、（3）、用公式（4）、（5）、（6）、用公式解：（4）、（5）、（6）、用公式（7）、（8）、（9）、用公式解：（7）、（8）、（9）、练习6（1）、（2）、（3）、练习（4）、（5）、（6）、解6（1）、、解6（2）、解（3）解（4）解6（5）解6（6)例5解练习7（1）、（2）、例6解例9求解例13求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次

7、项去凑微分.例14求解（一）（使用了三角函数恒等变形）解（二）解（三）类似地可推出第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。二、第二换元法例：例1练习解：令例4求解令练习2：求不定积分解2解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。练习解解4：令

8、x=2sint,dx=2costdt基本积分表练习解1解2解3练