第四章根轨迹分析法课件.ppt

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1、第四章根轨迹分析法目的掌握绘制系统根轨迹的方法掌握利用根轨迹分析系统的方法内容根轨迹方程绘制根轨迹的基本法则利用根轨迹进行系统分析稳定性即闭环极点闭环特征方程的根动态性能稳态误差系统的性能开环放大系数开环积分环节个数困难!困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生变化时系统闭环特征方程的根如何变化!参数改变，系统性能如何改变！伊万思（W.R.Evans）提出了一种图解方法，即在复平面上由系统的开环极点、零点确定闭环极点称为根轨迹法。§4.1根轨迹的基本概念1.引例讨论Kg变化时闭环极点的变化。开环

2、传函闭环传函闭环极点闭环极点在S平面上的变化系统的开环传递函数中某一参数变化时，系统闭环特征方程的根在S平面上的变化轨迹即为根轨迹例4-1系统结构图如图所示，分析l随开环放大系数K变化的趋势。解.K:开环放大系数:根轨迹增益问题：绘制根轨迹是用描点法吗？高阶系统闭环特征方程的根的表达式如何求?思路：利用开环传函绘制闭环特征方程的根的变化。2.根轨迹方程闭环特征方程若开环传函则根轨迹的条件方程为幅值条件方程相角条件方程注意：相角条件是确定根轨迹的充分而必要条件可从幅值条件方程求解得出Kg。例4-2图4-4所示为一个开环传递函数为的系统

3、的极点位置。试判断s1（-1，j1）、s2（-0.5，-j1）两点是否在其根轨迹上。-p1-p20σjωs1s2-0.5-1图4-4相角条件的试探4.幅值条件和相角条件的应用1）用相角条件求根轨迹解：系统无开环零点有两个开环极点：－p1＝0，－p2＝－1。作出向量（s1＋p1）＝s1和（s1＋p2）＝（s1＋1)规定以逆时针方向为正值。于是，由s1点导出的向量相角分别为所以s1不在根轨迹上。同理，过两极点向s2连线，得向量（s2＋p1）＝s2＋1=-0.5-j（s2＋p2）＝s2＋1=0.5-j计算可知满足相角条件，所以，s2在根轨

4、迹上。由满足相角条件的点就可连成根轨迹。这种逐点试探的方法，称为绘制根轨迹的试探法。由幅值条件得2）用幅值条件确定Kg值例4-3求例4-2中根轨迹上s2点对应的Kg值。s2（-0.5，-j1）。解：缺点：要把在s平面上整个根轨迹找出，是不现实的优点：实际绘制根轨迹时，往往是，根据轨迹的一些特征描绘出近似曲线，再利用试探法在根轨迹的重要部分进行探测、修正。这样就能既方便，又较准确地求出整个根轨迹图试探法优缺点分析§4.2根轨迹绘制的基本法则1.根轨迹的连续性根轨迹是连续变化的曲线2.根轨迹的对称性根轨迹对称于实轴3.根轨迹的分支数n阶

5、系统，n条根轨迹4.根轨迹的起点和终点Kg=0时的闭环极点为根轨迹的起点n条根轨迹起始于系统的n个开环极点根轨迹的终点Kg∞时的闭环极点为根轨迹的终点n条根轨迹终止于系统的n个开环零点m

6、极（零点）对相角条件无影响实轴上的根轨迹仅由实轴上的开环零极点的分布所决定6.根轨迹的渐近线若n>m，则时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角为，截距为，的一组渐近线趋向于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的交点和夹角渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的夹角例已知系统开环传递函数，试确定根轨迹的分支数、起点和渐近线解:例4-4已知系统的开环传递函数为试在s平面上确定根轨迹渐近线的方位。解：系统有4个开环极点和1个开环零点：-p1＝0，-p2＝-1＋j1，-p3＝-1-j1，-p4＝-4；-z1＝-1。可知有3条根轨迹趋于无穷远处截距：

7、夹角：当k＝0，1，2时，θ＝600，1800，30003条渐近线如图4-6的虚线所示。例4-5已知系统的开环传递函数为试求根轨迹渐近线的夹角和截矩。解将系统的开环传递函数变换成以零、极点表示的形式，即式中，Kg＝1.25K。系统有3个开环极点：－p1＝0，－p2＝－1，－p3＝－5；有1个开环零点：－z1＝－4。所以有2条根轨迹趋于无穷远处。其渐近线的方位是：当k＝0，1时，θ＝900，2700。7.根轨迹的分离点或会合点根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。分离点会合点这个点对应于特征方程的二重根在下图画

8、出了两条根轨迹。a点叫做分离点，b点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。分离点、会合点判别：实轴上相邻开环极点之间是根轨迹必有分离点实轴上相邻开环零点之间是根轨迹必有会合点实轴上开环零点、极点之间是根轨迹，可能既无分离点也