考研定积分详解ppt课件.ppt

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1、第五章定积分一、基本内容二、与概念有关的问题三、定积分的计算方法四、典型例题与解答1一、基本内容总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数上的定积分简称:积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.1.定积分的定义:2积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和注意：(1)是一个确定的常数.定与不定的区别？3(2)定积分与区间的分割方法无关，(3)积分值仅与被积函数及积分区间有关，使用什么字母表示无关.即而与积分变量的取法无关.与(4)当否则称(5)曲边梯形面积变速直线运动的路程4定理1.2.存在定理定理2.且只有有限个间断点定理的证明省略,只要求记住结论.定理3.故改变积分

2、区间内有限个点处的函数值,不影响积分值.5曲边梯形的面积;曲边梯形面积的负值;abxyoabxyoA表示各部分面积的代数和.即3.定积分的几何意义6之间的各部分面积的代数和.且x轴上方的在x轴下方的面积取负号.面积取正号；74.定积分的性质线性性：(1)可加性：(2)(3)dx则若(4)(性质中涉及到的定积分均存在)解:例.比较积分值的大小.(估值定理)(5)则(6)定积分中值公式则至少存在一点使8说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因dx95.积分上限函数6.以下几个符号的区别与联系1)以上几个符号存在的条件及概念.2)在存在的情况下,它们的区别与联

3、系.的区别：一个确定的常数无数个函数一个函数一个确定的常数认识它吗？10的联系：11☆定积分定义定理：或者二、与概念有关的问题例1.用定积分表示极限:解:12例2.用定积分表示极限:解:定理：或者另解:13解:将数列适当放大和缩小,以简化成积分和形式已知利用夹逼准则可知(1998考研)例3.求14例4.如图连续函数分别是直径为1的上、下半圆周,在区间图形分别是直径为则下列结论正确的是（）的下、上半圆周,B.C.D.A.上的图像1516设连续，则解:A例5.练习：求17例6.设解法1:解法2:对已知等式两边求导,得18例7.设求解:无法直接求出f(x),因为没有初等函数的原函

4、数，所以采用分部积分法.19解：P244第11题：2009研数一：21解：例8.则思考题:解：求定积分为常数,故应用积分法定此常数.设,则22三、定积分的计算方法：1.定积分的基本计算方法(常规计算方法有三种)(1)微积分基本公式:(2)定积分的换元公式:(3)定积分的分部积分公式:注意各个公式成立的条件.则有(牛顿—莱布尼茨公式)定理1(微积分基本公式)说明:牛顿莱布尼兹公式仍成立，但需可加性.导数,则有定理2(分部积分公式)定理323说明:1)当<,公式仍成立.2)必需注意不换元时不换限，换元的同时应换限,3)与不定积分的换元公式相比，这里没有要求当然最好选单调区间

5、.上限与上限对应，下限与下限对应.单调，4)如果在这个值域上连续即可.24如:计算解：且由定积分的几何意义：P246例125如:计算解：∴原式=说明：若由x的范围求t的范围时如下做法对吗？且262.定积分计算的特殊方法(公式法,奇偶性,周期性,几何意义等)n为偶数n为奇数273.几个重要的代换技巧及常用结论1)奇偶函数的定积分即oxy-aaa-axy0结论1：且有P247例528证:奇偶偶倍奇零29奇函数解:例1.计算原式偶函数单位圆的面积30证:例2.证毕则经验：特点：使限变号特点：不改变积分限P253第2题312)两个常用公式结论2：若在上连续，证明：证:x0t0特别的

6、：(n为正整数)P247例632(2)设证:33例3.计算解:该被积函数的原函数不是初等函数343)积分上限函数的奇偶性证明：(1)同理可证明(2).设是连续函数，.证明：结论3：P254第6题35当为周期函数，也是周期函数设是连续函数，是的原函数,则()设是连续函数,下列函数必为偶函数的是()02研1999研当为奇，必偶当为偶，必奇当为单调增函数，也是单调增函数36设是以T为周期的连续函数，则证明：由于证毕结论4：P249例74)周期函数的定积分37例4.计算周期的周期函数解:38四、典型例题与解答证:例1.右端设为连续函数，试证分部积分=左端39例2.设证:设且试证:则

7、故F(x)在[a,b]上单调递增,证毕40例3.证明证：是以为周期的函数.证毕04研数一提示：41练习:设在上连续，为偶函数,且满足条件(1)证明：(2)利用(1)的结论计算:提示：证:42练习:设在上连续，为偶函数,且满足条件(1)证明：(2)利用(1)的结论计算:43例4.解:考研题计算44另解求解:令则原式45例5.求解:如图46思考:1.下列作法是否正确?定理3(2)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如：47练习:如图,曲线C的方程为解:是它的一个拐点,线,其交点为(2,4),设函数f(x)