小学奥数计数问题之容斥原理知识点.doc

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1、小学奥数计数问题之容斥原理知识点经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。以下是无忧考网整理的相关资料，希望对您有所帮助。【篇一】容斥原理概念：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理

2、。容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B=A+B-A∩B)容斥原理2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C)经典例题：例1、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队，且每

3、人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有()人.考点：重叠问题.分析：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30，解方程即可.解答：解：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30，解得x=4.故答案为：4.点评：此题考查学生依据容斥原理解答问题的能力.例2、在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是

4、解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()解答：根据"每个人至少答出三题中的一道题"可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①由(2)知：a2+a23=(a3+a23)×2……②由(3)知：a12+a13+a123=a1-1……③由(4)知：a1=

5、a2+a3……④再由②得a23=a2-a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥然后将④⑤⑥代入①中，整理得到a2×4+a3=26由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：当a2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、10、14、18、22又根据a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。故只解出第二题的学生人数a2=6人。【篇二】1、在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数共有多

6、少个?2、六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育培训班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。问三项都报的有多少人?3、某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。4、某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分

7、者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没有得满分者3人。问这个班最多多少人?最少多少人?5、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的35，其余不赞成;赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的13多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人?6、分母是1001的最简真分数共有多少人?7、*出了两道数学题，全班40人中，第一有3