计算机图形学第6章电子教案ppt课件.ppt

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1、第6章二维图形变换与输出提出问题变换的数学基础如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换如何方便地在显示设备上输出二维图形(二维观察)裁剪2021/8/151河北农业大学张玉新6.1变换的数学基础向量向量和2021/8/152河北农业大学张玉新向量的数乘向量的点积性质2021/8/153河北农业大学张玉新向量的长度单位向量向量的夹角向量的叉积2021/8/154河北农业大学张玉新矩阵的含义矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n矩阵。A=其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素2021/8/155河北农业大学张玉新矩阵运算加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B=数乘k

2、A=[k*aij]

3、i=1...m,j=1,..n2021/8/156河北农业大学张玉新乘法设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵C=A·B=C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj单位矩阵在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In。Am×n=Am×n·Ink=1,n2021/8/157河北农业大学张玉新逆矩阵若矩阵A存在A·A-1=A-1·A=I，则称A-1为A的逆矩阵矩阵的转置把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作AT。(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=

4、BT·AT当A为n阶矩阵，且A=AT，则A是对称矩阵。2021/8/158河北农业大学张玉新矩阵运算的基本性质交换律与结合律师A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C数乘的分配律及结合律a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A2021/8/159河北农业大学张玉新矩阵乘法的结合律及分配律A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩阵的乘法不适合交换律2021/8/1510河北农业大学张玉新所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,…,Pn

5、)表示为（hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标h→齐次坐标由齐次坐标÷h→普通坐标3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。6.1.2齐次坐标2021/8/1511河北农业大学张玉新齐次坐标(x,y)点对应的齐次坐标为(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线2021/8/1512河北农业大学张玉新图形变换是计算机图形学中

6、的一个重要内容。通过对简单图形进行多种变换和组合，可以形成一个复杂图形。6.1.3、图形变换的基本原理2021/8/1513河北农业大学张玉新下面这张示意图，举例说明了图形的几种常见变化。几种常见的几何变换：缩放、压缩、旋转、错切。2021/8/1514河北农业大学张玉新由于图形的几何变换仅和点的位置变化有关，所以我们首先要讨论一个点在空间的位置及其变化。点的位置可以用一个向量来表示：如二维的点：［xy］三维的点：［xyz］那么要改变一个点的位置，就意味着要改变这个向量（大小及方向）。2021/8/1515河北农业大学张玉新对向量的运算要用矩阵运算来实现。假如原顶点坐标为（x,y），经变换后的

7、坐标为（x*，y*）。那么用矩阵表示的变换过程为：［x*y*］＝［xy］•Ｍ其中的Ｍ为变换矩阵。2021/8/1516河北农业大学张玉新同时，一个二维线性变换的一般形式也可以写成如下的代数式：x*=a1•x+b1•y+c1y*=a2•x+b2•y+c2转换为矩阵形式：2021/8/1517河北农业大学张玉新所以说，图形变换的矩阵形式和代数形式是完全可以统一的，只是原来用二维向量［xy］表示的点变成了用三维向量［xy1］来表示。但其第三维是常数１。其几何意义为：［xy］：Z=0平面上的点。［xy1］：Z=1平面上的点。2021/8/1518河北农业大学张玉新两种表示方法，仅从图形上来看是没有实质

8、性差别的。我们可以看下面的图例：在不同高度水平面上绘的图2021/8/1519河北农业大学张玉新这种用三维的形式来表示一个二维向量，进一步推广来说，用一个n+1维的形式来表示n维向量的方法，叫做齐次坐标表示法。（注意，增加的一维是常数１）这一小小的改变，给图形变换的矩阵实现创造了条件。2021/8/1520河北农业大学张玉新采用了齐次坐标表示法以后，我们可以把二维的线性变换表示成如下规格化齐次坐标