数学分析11.1反常积分概念.doc

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1、第十一章反常积分1反常积分概念一、问题提出例1：(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v0至少要多大？解：设地球半径为R，火箭质量为m，地面上的重力加速度为g.按万有引力定律，在距地心x(≥R)处火箭所受的引力为F=.于是火箭从地面上升到距离地心为r(>R)处需作的功为：dx=mgR2.当r→+∞时，其极限mgR就是火箭无限远离地球需作的功.可表示为：dx=dx=mgR.又由机械能守恒定律可求得初速度v0至少应满足：mv02=mgR.以g=9.81m/s2,R=6.371×106m代入，可得v0

2、=≈11.2km/s.例2：圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？解：记桶中水液面到桶顶的距离为x，则水从孔中流出的流速为：v=，其中g为重力加速度.设很小一段时间dt内，桶中液面降低的微小量为dx，则πR2dx=vπr2dt，即有dt=dx.∴流完一桶水所需的时间为：tf=dx，又被积函数在[0,h)上无界，所以它的确切含义为：tf=dx==.二、两类反常积分的定义定义1：设函数f定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何有限区间[a,u]上可积，如果存在极限=J，则称此极

3、限J为函数f在[a,+∞)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J=dx，并称dx收敛.若极限不存在，则称dx发散.类似的，可定义f在(-∞,b]的无穷积分：dx=.又有dx=dx+dx,其中a为任意实数，仅当右边两个无穷积分都收敛时，dx才收敛.例3：讨论无穷积分的收敛性.解：当p=1时，==lnu=+∞,当p<1时，===+∞,当p>1时，===,∴当p≤1时，发散于+∞;当p>1时，收敛.例4：讨论下列无穷积分的收敛性：(1);(2).解：(1)∵=;根据例3的结论可知，当p≤1时发散;当p>1时收敛.(2)=+=+=+=arttanu

4、-arttanv=π，收敛.定义2：设函数f定义在区间(a,b]上，在a点的任一右邻域内无界，但在任何[u,b]⊂(a,b]上有界且可积.如果存在极限=J，则称此极限为无界函数f在(a,b]上的反常积分，记作J=dx，并称反常积分dx收敛.a称为f的瑕点，而无界函数反常积分dx又称为瑕积分.若极限不存在，则称dx发散.类似的，可定义瑕点为b时的瑕积分：dx=.其中f在[a,b)有定义，在点b的任一左邻域内无界，但在任何[a,u]⊂[a,b)上可积.又若f的瑕点c∈(a,b)，则定义瑕积分dx=dx+dx=+,其中f在[a,c)∪(c,b]上有定

5、义，在点c的任一邻域内无界，但在任何[a,u]⊂[a,c)和[v,b]⊂(c,b]上都可积.当且仅当dx和dx都收敛时，dx才收敛.又若a,b都是f的瑕点，而f在任何[u,v]⊂(a,b)上可积，则定义瑕积分dx=dx+dx=+,其中c为(a,b)内任一实数.当且仅当和都收敛时，dx才收敛.例5：计算瑕积分的值.解：==arcsinu=.例6：讨论瑕积分(q>0)的收敛性.解：当q=1时，==-lnu=+∞,当01时，===+∞,∴当q≥1时，发散于+∞;当00)，右边两个反常积分不同

6、时收敛，∴对任何实数p发散.习题1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：(1)dx；(2)dx；(3)dx；(4)；(5)；(6)dx；(7)dx；(8).解：(1)dx=dx==，收敛.(2)∵dx=dx==-.∴dx=dx+dx=0，收敛.(3)dx=-2d=-2=2，收敛.(4)===1-ln2，收敛.(5)∵===；===；∴=+=，收敛.(6)dx=dx=[-e-u(cosu+sinu)+1]=，收敛.(7)∵dx=dx=[eu(cosu-sinu)-1]=+∞，发散；∴dx发散.(8)===+∞，发散.2、讨论下列瑕积分是否

7、收敛？若收敛，则求其值.(1)；(2)；(3)；(4)dx；(5)dx；(6)dx；(7)；(8).解：(1)当p=1时，===+∞，发散；当p≠1时，==，∴当p≥1时，=+∞，发散.当p<1时，=，收敛.(2)===+∞，发散.(3)=+=+=2-2=4，收敛.(4)dx==-=1，收敛.(5)dx=dx=(-ulnu-1+u)=-1，收敛.(6)dx=dt=2(dt-dt).又dt=arctan，当a→1-时，其极限为.dt=dtanθ=dθ=sinarctancosarctan+arctan，当a→1-时，其极限为.∴dx=2(-)=，

8、收敛.(7)取a∈(0,1)，则=+=+=2+2=π，收敛.(8)∵==又=+,a∈(0,1).∴当p=1时，==[ln(ln1)-ln(lna)]=