资源描述：
《数学分析 第七讲 反常积分.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七讲非黎曼积分（反常积分）一、知识结构我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）.下面研究积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分,主要研究它的收敛问题.1、一元函数的反常积分(1)一元函数反常积分的概念和定义我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间或有限闭区域，如果将积分区间换成无限区间或非闭区间（是被积函数的瑕点）或，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”
2、指将黎曼积分中的有限闭区间换成无限区间或非闭区间（是被积函数的瑕点,即函数在点处无界）.定义1函数在无限区间连续，则定义，如果极限存在，我们称反常积分收敛.定义2函数在非闭区间连续，而在点右邻域内无界（是被积函数的瑕点）即函数在点无界，则定义,如果极限存在，我们称反常积分收敛.函数在点右邻域内无界的意思是：.注意:函数在点没有定义,但函数在点右极限可以存在,这时不是被积函数的瑕点.例如,函数在点处没有定义,但,所以不是积分的瑕点.不是反常积分.将积分看作推广的黎曼积分.因为,如果被积函数在闭区间上仅有有限个第一类间断点,则积分为推
3、广的黎曼积分,它也是收敛的.定义3函数在开区间内连续，都是函数的瑕点，则定义,如果极限和均存在，我们称反常积分收敛.定义4函数在无限区间连续，是函数的瑕点，则定义,如果极限和均存在，我们称反常积分收敛.②积分区域无限且被积函数有瑕点（了解）.2、一元函数反常积分的性质与收敛判别请同学们切记如下例子中的结论.例讨论积分和的敛散性.解显然和均发散.在区间上,当时,函数,即前者的图像在后者的图像下方,这时收敛(请同学给出证明).当时,函数,即前者的图像在后者的图像上方,这时发散(请同学给出证明).在区间上,当时,函数,即前者的图像在后者
4、的图像上方,这时发散(请同学给出证明).当时,函数,即前者的图像在后者的图像下方,这时收敛(请同学给出证明).结论:和(1)无穷积分的性质与收敛性判别①无穷积分的性质(a)若与收敛,则也收敛,且.(b)若在任何有限闭区间上可积,,则与同敛态(同时收敛或同时发散),并且.(c)若在任何有限闭区间上可积,且有收敛，则收敛，且.当收敛时,称绝对收敛.我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.②无穷积分的收敛判别(a)柯西收敛准则对无穷积分的敛散性用以下准则可以作出判断.定理1(柯西收敛准则)无穷积分收敛的充要条件是:对,,,当时,有.无穷积分
5、的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到.(b)比较法则定理2(比较法则)设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可积,且满足,,则当收敛时必收敛;当发散时必发散.考虑当收敛时必收敛是否正确?当发散时必发散是否正确?推论1设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可积,,且,则有①当时,与同敛态;②当时,由收敛可推知也收敛;③当时,由发散可推知也发散.利用不等式，即可证上述结论.推论2设是定义在()的函数,且在任何有限区间上可积,则有:①当,,且时,收敛;②当,,且时,发散.利用结论可证上述结论.推论3设是定义在()的函数,在任
6、何有限区间上可积,且,则有:①当时,收敛;②当时,发散.利用不等式，即可证上述结论.(c)狄利克雷判别法定理3(狄利克雷判别法)若在上有界,在上当时单调趋于,则收敛(了解).(d)阿贝尔(Abel)判别法定理4(阿贝尔(Abel)判别法)若收敛，在上单调有界,则收敛(了解).(2)瑕积分的性质与收敛判别①瑕积分的性质(a)若与都以为瑕点，为常数，则当瑕积分与收敛时,瑕积分必定收敛,且.(b)设函数以为瑕点，为任一常数，则瑕积分与同敛态(同时收敛或同时发散),并且，其中为定积分.(c)设函数以为瑕点，若在的任一内闭区间上可积,则当收
7、敛时，也必收敛，且.当收敛时,称绝对收敛.我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.②瑕积分的收敛判别(a)柯西收敛准则对瑕积分的敛散性用以下准则可以作出判断.定理1(柯西收敛准则)瑕积分（瑕点为）收敛的充要条件是:对,,,当时,有.瑕积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到.(b)比较法则定理2(比较法则)设定义在上的两个函数和，瑕点同为，和都在任何有限区间上可积,且满足,,则当收敛时必收敛;当发散时必发散.考虑当收敛时必收敛是否正确?当发散时必发散是否正确?推论1又若,且,则有①当时,与同敛态;②当时,由收敛可推知也收敛;③
8、当时,由发散可推知也发散.利用不等式，即可证上述结论.推论2设是定义在的函数,瑕点为，且在任何有限区间上可积，则有:①当,且时,收敛;②当,且时,发散.利用结论可证上述结论.推论3设是定义在的函数,瑕点为，且在任何有限区间上可积，且,则有:①当时,
