高等数学 第一章 第五节ppt课件.ppt

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1、1.5函数的连续与间断1.函数的改变量（增量）2.连续的定义改变量式极限式例1证由定义2知3.单侧连续定理例2解右连续但不左连续,不右连续,解：例7：设f(x)=考察在x=1处的连续性。例7题解：f(x)在x=1处有定义，且f(1)=1。但是：注：可以重新定义：f(1)=2使得f(x)在x=1时连续。所以x=1称为该函数的可去间断点。4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,例3证4、函数的

2、间断点1.跳跃间断点例4解2.可去间断点例5解如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点，这种过程称为对函数的连续延拓.3.第二类间断点例6解例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:例8解小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的

3、分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx1.5.2连续函数的运算定理1例如,即：三角函数在其定义域上处处连续。四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.反三角函数、对数函数在其定义域上连续。定理3证特别的，将上两步合起来:意义1.在函数连续时，极限符号可以与函数符号互换;例

4、1解例如,例2解同理可得初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意注意2.初等函数求极限的方法代入法.例3例4解解连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一

5、种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性.小结思考题思考题解答且但反之不成立.例但练习题练习题答案练习题练习题答案