高等数学b学习资料37定积分的换元积分法与分部积分法ppt课件.ppt

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1、第七节定积分的换元积分法与分部积分法一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法一、定积分的换元积分法定理1设函数单调函数满足:证:所证等式两边被积函数都连续,故积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则则有说明1)当<,即区间换为[,]时,定理1仍成立.2)换元必换限,且新变量与旧变量的上、下限要分别对应.3)求出f[(t)](t)的原函数后不必把变量还原，只要把新变量的上、下限代入计算即可.例1计算解原式例2求解原式说明:定积分的换元公式可以反过来使用.即有:即可以用来引入新变量t,例3求解原式或原式例4计算解原式用凑

2、微分法时，若没有引入新变量，则不必换限.例5计算解原式例6解例7设f(x)C[a,a](a>0)，证明：证明由此可得：1)若f(x)为偶函数,f(x)=f(x),则有2)若f(x)为奇函数,f(x)=f(x),则有注意计算在对称于原点的区间上的定积分时利用这两个公式常能带来很大的方便.课本Page212例8计算下列定积分解原式2)计算解原式单位圆的面积课本Page213证思考与练习解令2、定积分的分部积分公式二、定积分的分部积分法定理2则证例1计算解例2计算解例3计算解例4计算解例5设求解例6证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数课本Pag

3、e215注意此公式在定积分的计算中很有用.证递推公式直到下标减到0或1为止,于是例7计算解例8计算解一般地有：例9解1、定积分的换元法三、小结1)用凑微分法时，若没有引入新变量，则不必换限.2)作变换x=(t)时,(t)在积分区间上应单调且有连续导数,同时还应注意换元必换限.3、一些特殊积分及公式等式.2、定积分分部积分法应该边积分边代积分限.思考题解令思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是练习题练习题答案练习题练习题答案例5计算解原式例5计算解例6求函数在[1,e]上的最大值与最小值.解故f(x)在[1,e]上单调增加,故最小值为最大值为