高量12--二次量子化ppt课件.ppt

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1、第七章二次量子化§30全同粒子系统的Hilbert空间量子力学的基本原理原理5：描写全同粒子系统的态矢量对于任意一对粒子的对调，必须是对称的或反对称的。研究全同粒子的理论方法：二次量子化，利用产生算符和消灭算符（creationandannihilationoperators）在对称化的Hilbert空间中处理全同粒子系统的一种方法。1§30-1对称化的基矢一、n粒子系统的Hilbert空间设有一全同粒子系统由n个粒子组成。描写粒子变量的编号为1,2,…n。若第i个粒子的Hilbert空间为R(i)，则整

2、个n粒子系统的Hilbert空间是n个单粒子空间的直积空间：2用字母B代表单粒子的一组完备的物理量，B的本征值可以是连续的，也可以是离散的。设第i个粒子相应的本征矢量为则这些本征矢量的全体，就是R(i)中的一组基矢。各个单粒子空间基矢的直积：代表这组物理量各组不同的本征值。整个系统的Hilbert空间中的基矢是其中取本征值组的各种可能排列；3基矢的总数是单粒子空间基矢数目n次幂，比如单粒子空间有两基矢：则两粒子空间有4个基矢，即4二、对称化基矢构造对称（反对称）矢量组成的空间，方法如下：其中P是一个算符，

3、作用是对粒子编号1,2,…n取一种排列；取和号下面的P表示对一切排列取和；p表示置换次数。5例如，对于2个全同粒子的空间：对于3个全同粒子空间：6写成一个统一的形式，称之为对称化基矢：对Bose子取，对Fermi子描写的是在n个粒子中，有一个粒子处于一个处于态，,一个处于态的状态。7三、说明1.对称化基矢（30.4）没有进行归一化。1/n!表示求和共有n!项。它们在（30.4）式左边基矢符号内的次序可以任意；对于Fermi子系统，由于2.对于Bose子系统，一次，基矢要改变符号，故这些b中不能有相同的，这

4、正是Pauli不相容原理。中可以有几个相等，之间每对调83.并不是在基矢中每一种组合（而不是排列）代表一个基矢。分别取一切值的都是不同的基矢，其中有不少基矢实际上是相同的，例如对三粒子系统，对称的

5、3;b1b2b3>和

6、3;b1b3b2>是相同的基矢，而反对称的

7、3;b1b2b3>和

8、3;b1b3b2>则相差一个负号，用其中一个做基矢就不必用第二个了。因此可以说，在基矢中，n个b值的94.对整个系统的态矢量而言，Bose子系统用对称的态矢量描写，Fermi子系统用反对称的态矢量描写。但常有这种情况，电子系

9、统的整个Hilbert空间可以写成位形Hilbert空间RC和自旋Hilbert空间RS的直积：使整个态矢量反对称可有两种情况：RC对称，RS反对称；RC反对称，RS对称，所以尽管电子是Fermi子，研究对称的自旋空间仍是必要的。10§30-2正交归一化关系和完全性关系在系统的直积空间中所确定的对称化基矢为由于这些b值是单粒子算符B的本征值，而b可以有离散谱，亦可以有连续谱。约定写成连续谱的积分形式，若b有离散谱，将各式中的积分理解为取和即可。11一、正交归一化关系取任一基左矢这个基矢与上述基右矢的内积可

10、以写为此式可进一步化简：先令等按原次序不动，进行P操作，即取的一切排列，得出n!项，这些项之和称为第1组，是12其次，进行一次p’操作，取的另一个排列后固定不动，再全部取的一切排列各项之和，称为第2组（n!项），依次类推，共有n!组（每组n!项，所以一共有(n!)2项）。例如：2个全同粒子第一组：第二组：13这样，第1组中的任何一项都能在第2组中找到相等的一项，由此得出结论，第2组和第1组完全相等。同样，第3、4组等与第1组完全相等。这样（30.5）式右边双取和号下的值等于第一组（30.6）式的n!倍，（

11、30.5）式变为14由于对单粒子来说，则这就是对称化基矢的正交归一化关系。15二、内积定理一个n粒子系统两基矢内积与(n-1)粒子系统两基矢内积的关系。16证明：根据（30.7）有1718三、完全性关系设是n粒子直积空间Rn中的一个对称化矢量，按全部基矢进行展开，有把上式两边对粒子编号取排列P，并对全部不同排列取和，同时加上符号因子，即其对称化特点可以表现为19完全性关系：根据对称化基矢的定义，等号右边每一项都是对称化基矢的n!倍，而左边则是的n!倍，说明直积空间R’n中的任何一个对称化矢量都是对称化基矢

12、的叠加，即在直积空间中取出了对称和反对称的两个子空间后，在这子空间外再没有对称的或反对称的矢量存在，所取的对称化基矢对n粒子系统（全同粒子）是完全的。20这样，就以单粒子算符B为基础建立了一个n粒子系统的对称化的Hilbert空间，其中的对称化基矢为以这组基矢上的分量描写对称化的矢量，称为对称化的B表象。21§31产生算符和消灭算符§31-1定义讨论B表象，以单粒子算符B的本征矢量{

13、b>}为基础。一、产生算符a+(b)首先定