圆的标准方程与一般方程题型归纳总结.doc

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1、圆的标准方程与一般方程【重难点精讲】重点一、圆基本要素当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径标准方程圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2图示说明若点M(x，y)在圆C上，则点M的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在圆C上重点二、点与圆的位置关系圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝

2、PC

3、＝.

4、位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外d>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内d0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为C(－，－)，半径为r＝．(2)说明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆．当且仅当D2＋E2－4F>0时，表示圆：当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点(－，－)；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．(3)用“待

5、定系数法”求圆的方程的大致步骤：①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程；②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．重点四、二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0．重点五、求轨迹方程的五个步骤：①建系：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②设点：写出适合条件P的点M的集合P＝{M

6、p(M)}；③列式：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；④化简：化方程F(

7、x，y)＝0为最简形式；⑤查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．【典题精练】考点1、求圆的标准方程例1．已知三角形ABC的顶点坐标分别为A，B，C；（1）求直线AB方程的一般式；（2）证明△ABC为直角三角形；（3）求△ABC外接圆方程．【解析】（1）直线AB方程为：，化简得：；（2）；，∴，则∴△ABC为直角三角形（3）∵△ABC为直角三角形，∴△ABC外接圆圆心为AC中点M，半径为r=，∴△ABC外接圆方程为考点点睛：(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果

8、已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．考点2、判断点与圆的位置关系例2．已知圆过两点、，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）判断点与圆的关系.【解析】（1）圆心在直线上，设圆心坐标为，则，即，即，解得，即圆心为，半径则圆的标准方程为（2）点在圆的外面.考点点睛：点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较；(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；②(x0－a)2＋(y0－b

9、)2＝r2，点在圆上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．考点3、圆的标准方程的综合应用例3．已知一圆的圆心在直线上，且该圆经过和两点.（1）求圆的标准方程；（2）若斜率为的直线与圆相交于，两点，试求面积的最大值和此时直线的方程.【解析】（1）方法一：和两点的中垂线方程为：，圆心必在弦的中垂线上，联立得，半径，所以圆的标准方程为：.方法二：设圆的标准方程为：，由题得：，解得：所以圆的标准方程为：.（2）设直线的方程为，圆心到直线的距离为，∴，且，，面积，当，时，取得最大值2此时，解得：或所以，直线的方程为：或.考点点睛

10、：确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：几何法和待定系数法．(1)几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程，常用的几何性质有：①圆的弦的垂直平分线过圆心；②两条弦的垂直平分线的交点为圆心；③圆心与切点的连线垂直于切线；④圆心到切点的距离等于圆的半径；⑤圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形；⑥直径所对圆周角为直角等．(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：①设：设所

11、求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②列：由已知条件，建立关于a、b、r的方程组；③解：解方程组，求出a、b、r；④代：将a、b、r代入所设方程，得所求圆的方程．考点4、二元二次方程与圆的关系例4．已知方程x2＋y2－2(t