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1、函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数f(x
2、)在x0点处可导，且在x0处取得极值，那么f(x)0。使导数为零的点，即为函数f(x)的驻点，可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。定理2（极值的第一充分条件）设f在x连续，在某领域U(x;)内可导。00（1）若当x(x0,x0)时f(x)0，当x(x0,x0)时f(x)0，则f在点x0取得最小值。（2）若当x(x,x)时f(x)0，当x(x,x)时f(x)0，则f在点x00000取得最大值。定理3（极值的第二充分条件）设f在x0连续，在
3、某领域U(x0;)内可导，在xx0处二阶可导，在xx处二阶可导，且f(x)0，f(x)0。00（1）若f(x0)0，则f在x0取得极大值。（2）若f(x0)0，则f在x0取得极小值。由连续函数在[a,b]上的性质，若函数f在[a,b]上一定有最大、最小值。这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导
4、的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数f(x)的导数f(x)；（2）令f(x)0，求出f(x)在(a,b)内的驻点和导数f(x)不存在的点1xx0,x1,x2,...,xn；（3）计算函数值f(x2),...,f(xn),f(a),f(b)；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是f(x)在区间[a,b]上的最大值，最小者就是f(x)在闭区间[a,b]上的最小值。2、多元函数极值的判定在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值最小值问题。与一元函数相类似，多元函数的最大值，
5、最小值与极大值极小值有密切联系，因此我们以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题。定义设函数zf(x,y)的定义域为D。P0(x0,y0)为D的内点。若存在P0的某个邻域U0(P0)D，使得对于该邻域异于P0的任何内点(x,y)，都有f(x,y)f(x,y)00则称函数f(x,y)在点(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极大值点；若对于该领域内异于P0的任何点(x,y)，都有f(x,y)f(x0,y0)则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极小值f(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极小值点，极大值、极小值统称为极值，使得
6、函数取得极值的点称为极值点。关于二元函数的极值概念，可推广到n元函数，设n元函数uf(P)的定义域为D。P0为D的内点，若存在P0的某个领域U(P0)D，使得该邻域内异于P0的任何点P，都有f(P)f(P0)（或f(P)f(P0)）则称函数f(P)在点P0有极大值（或极小值）f(P0)。二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决，下面两个定理就是关于这问题的结论。定理1（必要条件）设函数zf(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则有fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题
7、。2定理2（充分条件）设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0，令fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C则f(x,y)在(x,y)处是否取得极值的条件如下：002（1）ACB0时具有极值，且当A0时有极大值，当A0时有极小值；2（2）ACB0时没有极值。对于多元函数中有条件约束的这类问题，可采用拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法要找函数zf(x,y)在附加条件(x,y)0下的可能极值点，可以先做拉格朗日函数L(x,y)f(x,y)(x,y)其中为参数，
8、求其对x与y的一阶偏导数
