数学与应用数学毕业论文多元函数的极值及其实际应用

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1、2007级数学与应用数学专业论文1绪论在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业

2、未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.第19页共19页2007级数学与应用数学专业论文2多元函数的概念2.1二元函数的极值的定义[1]原点是极大值在高等数学中,常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数在点的某个领域内有定义,对该邻域内异于的点,如果都适合不等式,则称函数在点取极大值;如果都适合不等式,则称函数在点取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1）图1-12.2多元

3、函数的极值二元函数的极值是一个局部概念,这一概念很容易推广至多元函数.若多元函数于点的邻域内有定义,并且当时,(或),则说函数在点有极大值(或极小值),点称为函数的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,第19页共19页2007级数学与应用数学专业论文并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则.2.3多元函数的极值的几个判定定理[1]不少微积分的教材中,给出了关于二元函数

4、取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1设函数在点在点具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为0,即将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.定理2　设函数在点的邻域内有定义,在点具有偏导数,可微分的函数仅在稳定点即在偏导数是0的点能达到极值,所以函数的极值点应当满足方程组().证明:在点取得极值,则固定,在点取得极值,,同理.另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3　设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又令,令,,,则在处是否取得极值的条件如下:1)时具有极值,且当时有极大值,当时有极小值;

5、2)时没有极值;3)时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论.现将此定理推广至一般多元函数,即有下面的定理4.定理4　设,在点的某邻域内有直至阶的连续偏导数,又设是稳定点,,记第19页共19页2007级数学与应用数学专业论文,,即:,再记矩阵,则:(1)若矩阵的各阶顺序主子式全大于零,就有在点取得极小值.(2)若矩阵的各阶顺序主子式全大于零,则在点取得极大值.若矩阵有偶数阶主子式小于零,在点没有极值.证明:多元函数,,由已知,，其中,将看作是元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零

6、,故当A的各阶顺序主子式全大于零时,是正定的,当时,,则在点取得极小值,而由是负定的充要条件就是是正定的,于是当第19页共19页2007级数学与应用数学专业论文的各阶顺序主子式全大于零,在点取得极大值,若矩阵有偶数阶顺序主子式小于零,既非半正定也非半负定,取值可正可负,在点没有极值,定理得证.显然,定理3是定理4的特殊情况.2.4定理的应用[11]2.4.1多元函数的最大值与最小值例1：在坐标面上找出一点，使它到三点、、距离的平方和为最小.解：设为所求之点，为到、、三点距离的平方和，即，，所以对求偏导数，有，即，解方程组得驻点，由问题的

7、实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，可微，又只有一个驻点，因此即为所求之点.2.4.2研究下列多变量函数的极值例1,求多元函数的极值情况.解:由得稳定点,二阶偏导数，,的各阶顺序主子式全大于,故在点取得极小值.例2,求多元函数的极值情况.解:由第19页共19页2007级数学与应用数学专业论文得稳定点及,,在处,,的各阶顺序主子式,,全大于零,则在点取得极小值,在点处,的各阶顺序主子式不全大于零,此时,当而当均大于时,,因此符号不定,故无极值,或计算偶数阶顺序主子式小于因而无极值.2.5隐函数的极值概念和应用　关于显函数的极值问题

8、已有许多讨论.本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例.2.5.1引理及定理引理[1]若函数在的邻域内存在二阶导数,且,,则(1)当时,是函数的极小值点;(2)当时,是函