第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理ppt课件.ppt

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1、§3.4静态场的边值问题及解的惟一性定理前面讨论了静电场、恒定电场和稳恒磁场，得到了这些场的位函数满足的微分方程和边界条件；并且在均匀线性媒质中，对一些简单的场源分布情况求出了场的解。但在工程中通常会遇到更复杂的情况，此时求解场的问题就须要解场的二阶偏微分方程，并满足一定的边界条件，即通常所说的边值问题。本节讨论静态场边值问题解法。求解边值问题的方法通常有解析和数值法。解析法包括镜像法、变量分离法、格林函数法、复变函数法等；数值法包括有限差分法、矩量法、有限元法等。本章主要讨论几种经典的解析法。13.4.1边值问题的类型边值问题包括位方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和边界条件

2、，根据在场域V的边界S上的边界条件，边值问题类型有：第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值如果f1(S)=0称为齐次边界条件狄里赫利问题第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。纽曼问题混合边值问题第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数2涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。3.4.2解的唯一性定理对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。解的存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。解的唯一性是指在给定的定解条件下所求得

3、的解是否惟一。自然边界条件如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边界条件。对于场源分布在有限区域的情况，在无限远处应有它表明在无限远处位函数取值为零。电磁场是客观存在的，因此位函数的微分方程的解的存在确信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。下面证明电位微分方程解也是惟一的。3静电场唯一性定理的表述对于三类边值问题中的任何一类，在满足泊松方程（或拉普拉斯方程）和边界条件下，无论用什么方法所得的解都是正确的，且是唯一的。静电场唯一性定理的证明设有两个解1和2，分别满足方程则在V内令在格林第一恒等式中，令则4对于第一类和第二类边值问题，在边界S

4、上分别有对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。唯一性定理的意义：5§3.5镜像法依据：唯一性定理，若能找到一个函数既满足该问题的微分方程，又满足该问题的边界条件，则它一定是场的真解，且唯一。关键和原则：确定像电荷（像电流）的位置、个数和电量大小以及电流的流向等，但必须满足场区域的边界条件且像电荷（或像电流）只能置于求解区域外。3.5.1接地导体平面的镜像例1、求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点电荷q的电位。基本思想：在研究的区域外，用一些假想电荷（电

5、流）代替边界面处复杂的、未知的感应电荷、极化电荷或电流。用假想电荷（电流）与原有电荷（电流）一起产生的场来满足原来的边界条件，那么它们的电位（磁矢位）的叠加就是解6在导体上方，（除点电荷所在位置）在导体表面处，分析：导体平面上空的电场是由点电荷和导体表面的感应电荷共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。设在导体下方与点电荷对称的位置处有一点电荷（像电荷），用该像电荷代替导体上的感应电荷，即引入后，就像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。7用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响，则z>0空间任一点P的电位由q及q'共同产生，即解：即像电荷q'与

6、原点电荷q电量相等，电性相反；用q'代替了导体上的感应电荷。在z>0区域内，P点的电位为8导体表面总的感应电荷：在z>0区域内，电场为9电场线与等位面的分布特性与前述的电偶极子的上半部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。说明：应用镜像法时仅针对导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。例2、求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的长直线电荷的电位。10lzx=∞hl′-h显然可将感应电荷的作用用位于－h处的镜像线电荷l′＝－l替代。显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。RR′考察原

7、问题是否得到满足：由于像电荷位于z<0区域，原方程不变，且有原问题均匀带电直线的电位分布11例3.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q位于(d1,d2)处。显然，q1对平面2以及q2对平面1均不能满足边界条件。对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1,d2)对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于(d1,－d2)只有在(－d1,－d2)处再设置一镜像电荷q3=q，所有边界条件才能得到满足。电位函数qd1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q