第三章-岩石的弹塑性本构关系ppt课件.ppt

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1、第三章岩石的弹塑性本构模型岩石的弹塑性本构模型前言张量知识简介线性弹性理论非线性弹性理论应力空间表述的弹塑性本构理论前言1、条件：将岩石介质看作成一种连续介质——宏观分析。2、主要研究内容：①研究材料固有的特性，建立应力~应变及与温度之间关系的表达式（本构关系）②分析弹塑性变形体内应力、应变分布，研究物体在各种荷载下的稳定性问题——求解边值问题或求解初值-边值问题。③应用数学问题，探求各种解析方法或数值方法。本章着重解决本构关系。张量知识简介一、预备知识1.坐标系2.约定求和3.克罗尼克尔符号4.置换符号二、张量的定义1.坐标变换2.零阶张量（标量）3.一阶张量（向量）4.二阶张

2、量1.坐标系1）直线坐标系由坐标原点与三条不共面标架直线构成2）仿射坐标系各标架上单位尺度不同3）笛卡尔坐标系各标架上单位尺度相同①笛卡尔直角坐标系标架直线互相垂直②笛卡尔斜角坐标系标架直线不互相垂直以表示笛卡尔直角坐标系的坐标，，，分别表示三个坐标的单位矢量。2.约定求和定义：如果在同一项中，某个指标重复出现两次，就表示对这个指标从1到3求和。例1例2例3:例4↓3.克罗尼克尔符号定义：故有：例1：在笛卡尔直角坐标系中：例2：单位矩阵可表示为例3：例4：例5：例6：4.置换符号1）定义：即：例1：例2：2）和的关系练习将下式写成常见的应力-应变方程组（广义虎克定律）例：将（2-

3、1）式转换为（2-2）式由得：（2-1）式可以写成两端乘调整参数或代入（2-3）式，得整理得：二、张量的定义张量是由满足一定关系的一组元素所组成的整体，元素的个数由空间的维数N及张量的阶数n决定，我们以N=3为代表，给出各阶张量的定义。1．笛卡尔直角坐标系间的坐标变换：式中：是轴与轴夹角的余弦，为坐标轴的单位向量即：2．零阶张量（标量）有30=1个元素，是坐标变换下的不变量，即3．一阶张量（向量）有31=3个元素，它们随坐标系变化的规律为或该3个元素组成的整体称为一阶张量，记作称为的分量，记作一阶张量=向量4．二阶张量有个元素，它们随坐标系的变化规律为或则由这9个元素所组成的整体

4、称为二阶张量，记作5.应力、应变张量①应力张量：是二阶对称张量，②应变张量：是二阶对称张量，③广义虎克定律：式中：——弹性系数张量，根据张量识别定理，是4阶张量，共有34=81个分量。线性弹性理论一、空力空间和应变空间二、用cauchy方法给出的本构方程一、空力空间和应变空间1．应力空间：①定义：以应力分量作为笛卡尔坐标系中的坐标轴所形成的空间（一般概念上来说应是一个9维空间），岩体中某一点的应力状态可用应力空间中的一点（坐标）来表示。②常用应力空间9维空间不直观。通常采用三维——二维空间i)用三个主应力来表示：ii)用二个主应力来表示：iii)用剪应力和平均应力来表示用剪应力和

5、平均应力来表示应力分解：式中：为平均应力用剪应力和平均应力来表示常用二维：空间表示其中：用剪应力和平均应力来表示常用三维：空间表示——八面体剪应力——偏应力第二不变量；与形变能V有关轴对称情况（常规三轴试验）：用剪应力和平均应力来表示有限元计算中常用的应力空间有：空间，2．应力路径（stressroute）1）定义：应力空间中用来表示应力状态变化历史的一条曲线。2）举例：①不同应力空间中常规三轴加载条件下的应力路线3．应变应空间与应变路径——相同定义本构关系就是应力、应变这两种状态所满足的数学表达式二、用cauchy方法给出的本构方程1．Cauchy假设：在外力作用下，物体内各点

6、的应力状态和应变状态之间存在着一一对应的关系。因此，弹性介质的响应仅与当时的状态有关而与应变路径或应力路径无关。推论：①卸荷后，介质回到初始状态②应力、应变都是瞬时发生的，在时间上无先后顺序③在应力空间和应变空间的各点之间构成一一对应的映射关系。2．弹性本构方程1）弹性变形是各向同性的①用应变表示应力（1）其中：为4阶张量。对于各向同性：式中，为某一标量，是两个独立的常数，称为拉梅常数②用应力表示应变2）弹性参数：纯拉（或压）虎克定律中的扬氏弹性模量E纯剪切虎克定律中的剪切弹性模量G泊松比①E：纯拉（或压）其余实验上：单向伸缩的虎克定律可以写成故：②泊松比③纯剪切虎克定律中的剪切

7、弹性模量G∵又∵故：3）不同表示的弹性本构方程①用E，表示的弹性本构方程②用K-G表示的弹性本构方程③用G、E、表示的弹性本构关系④用表示的弹性本构关系上述各式中的E，，G，K等弹性参数可采用割线参数。4）增量形式的弹性本构方程上述各式中的E，，G，K等弹性参数可采用切线参数。非线性弹性理论非线性弹性Duncan（邓肯）模型该模型在岩土工程计算中运用相当广泛。（一）弹性模量（二）泊松比（一）弹性模量1）基本假定：由常规三轴试验，应力—应变关系为双曲线形式：或2）参数意义：式中：为