非线性部分习题答案.doc

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1、描述函数法：1.根据题意有：,根据题意可得图形（略）。其交汇点在实轴上，即，得到此时频率为：幅值为即：由于极限环为系统从不稳定区域到稳定区域极限环，因此该极限环是稳定的。2.根据题意有：系统没有交汇点，并且曲线在的外面，故系统是稳定的。3.根据题意有：饱和特性为在实轴上的最大值为。如果存在交汇点，则交汇点在实轴上，即，得到此时频率为：临界值为：得到：。4.根据题意画出BODE图，然后得到低频带宽即可！5.如果存在交汇点，则交汇点在实轴上，即，得到此时频率为：临界值为：得到：。系统拥有极限环。当，系统不稳定。当，系统稳定。相平面法：1.得到：因此有：得到：绘

2、制相平面为：2.上课讲过（略）。3.比较复杂，略。4.根据公式有：得到奇点为：分别以该点进行线性化可得：5.分段即可。6.以这道题为例，进行讲解。第一问为课本例题，系统存在临界极限环。第二问：有，，即，当，当绘制系统的相平面轨迹为：略。可得系统是稳定的。根据非线性方程得到非线性状态方程，并且基于状态方程绘制系统的相平面图形，进而判定系统的稳定性及其它特性。李雅普洛夫函数4.1ThenormusedinthedefinitionsofstabilityneednotbetheusualEuclidiannorm.Ifthestate-paceisoffini

3、tedimensionn(i.e.,thestatevectorhasncomponents),stabilityanditstypeareindependentofthechoiceofnorm(allnormsare“equivalent”),althoughaparticularchoiceofnormmaymakeanalysiseasier.Forn=2,drawtheunitballscorrespondingtothefollowingnorms:(Euclidiannorm)圆是一个椭圆菱形正方形RecallthataballB(,R),o

4、fcenterandradiusR,isthesetofXsuchthat,andthattheunitballisB(0,1).4.2Forthefollowingsystems,findtheequilibriumpointsanddeterminetheirstability.Indicatewhetherthestabilityisasymptotic,andwhetheritisglobal.(a)(b)平衡点，，线性化，，asymptoticstability.将平衡点移到原点位置，令，，得：令，得：因此globalstability.(c)(

5、d)(e)4.1ConsideranmatrixMoftheform,whereNisamatrix.ShowthatMispositivedefinite.if,andonlyif,andNhasfullrank.4.4ShowthatifMisasymmetricmatrixsuchthatthenM=0.实对称矩阵的正交对角化。4.5ShowthatifsymmetricpositivedefinitematricesPandQexistsuchthatthenalltheeigenvaluesofAhavearealpartstrictlyless

6、that.令即可。4.6Considerthesystemwherethevectoristhestate,andthematricesareallsymmetricpositivedefinite.Showthatthesystemisgloballyasymptoticallystable,with0asauniqueequilibriumpoint.令，可得，进而。故，。令，4.7Thesecondlawofthermodynamicsstatesthattheentropyofanisolatedsystemcanonlyincreasewitht

7、ime.HowdosethisrelatetothenotionofaLyapunovfunction?