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时间:2017-12-26
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1、同济大学高等数学(下)期中考试试卷1一.填空题(每小题6分)1.有关多元函数的各性质:(A)连续;(B)可微分;(C)可偏导;(D)各偏导数连续,它们的关系是怎样的?若用记号“”表示由可推得,则()().2.函数在点处的梯度为,该点处各方向导数中的最大值是.3.设函数可微,则柱面在点处的法向为,平面曲线在点处的切向量为.4.设函数连续,则二次积分.(A);(B);(C);(D).二.(6分)试就方程可确定有连续偏导的函数,正确叙述隐函数存在定理.三.计算题(每小题8分)1.设是由方程所确定的隐函数,其中具有连续的
2、偏导数且,求的值.2.设二元函数有连续的偏导数,且.又函数与由方程组()确定,求复合函数的偏导数,.3.已知曲面上的点处的切平面平行于平面,求点处的切平面方程.4计算二重积分:,其中是以直线,和曲线为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分,为曲线沿从0增大到2的方向.五.(10分)球面被一平面分割为两部分,面积小的那部分称为“球冠”;同时,垂直于平面的直径被该平面分割为两段,短的一段之长度称为球冠的高.证明:球半径为高为的球冠的面积与整个球面面积之比为.六.(10分)设线材的形状为锥面曲线,其方程为:,,(),其线
3、密度,试求的质量.七.(10分)求密度为的均匀柱体,,对位于点的单位质点的引力.同济大学高等数学(下)期中考试试卷2一.简答题(每小题8分)1.求曲线在点处的切线方程.2.方程在点的某邻域内可否确定导数连续的隐函数或或?为什么?3.不需要具体求解,指出解决下列问题的两条不同的解题思路:设椭球面与平面没有交点,求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数具有二阶连续的偏导数,是的一条等高线,若,求.二.(8分)设函数具有二阶连续的偏导数,求.三.(8分)设变量满足方程及,其中与均具有连续的偏导数,求.四.(8分)求曲线
4、在点处的切线与法平面的方程.五.(8分)计算积分),其中是顶点分别为..的三角形区域.六.(8分)求函数在圆上的最大值和最小值.七.(14分)设一座山的方程为,是山脚即等量线上的点.(1)问:在点处沿什么方向的增长率最大,并求出此增长率;(2)攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点,即在该等量线上找一点使得上述增长率最大,请写出该点的坐标.八.(14分)设曲面是双曲线(的一支)绕轴旋转而成,曲面上一点处的切平面与平面平行.(1)写出曲面的方程并求出点的坐标;(2)若是.和柱面围成的立体,求的体积.
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