同济大学高等数学下 综合练习403.pdf

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1、综合练习403解答一.填空题z1.曲面ezxy3在2,1,0处的切平面方程为______.z解.nyxe,,11,2,0,故x22y10,即x2y40.2,1,0222.设有向闭曲线L从A1,0沿直线到B0,1,再沿圆弧xy1逆时针到1C1,0,然后沿直线回到A,则ydxxdy______.2L11QP1解.PdxQdydxdydxdy.22xy42LDD223.设为柱面xy1夹在z0与zaa0之间部分的外

2、侧,则xdydzydzdxzdxdy______.z0za解.取:下侧,:上侧,则122222xy1xy112123dv10dxdyadxdy3aa2a.x2y21x2y214.设为平面x2y3z1在第四卦限部分的右侧,则222xdydzydzdxzdxdy______.2221222(A)x2y3zdS(B)x2y3zdS142221222(C)x2y3

3、zdS(D)x2y3zdS141222解.e1,2,3,Ixyz,,edS,故选(D).nn141na5.设a0,则级数1ln13的敛散性为______.n12n(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)与a有关aa解.ln1,故选(A).33n2n2nn6.设axn的收敛半径R3,则______是anx1收敛区间的子集.n0n0(A)2,1,0,1(B)1,0,1,2(C)1,2,3,4(D)2,3,4,

4、5n解.anx1的收敛半径R3,故收敛区间为2,4,故选(B).n0x,0x27.设fx是周期为2的偶函数,且fx,其傅里叶级数1,x2a0为ancosnx,则a2______.2n12221解.afxcos2xdxxcos2xdxcos2xdx.20028.方程y6y13y0的通解为______.323x解.r6r13r0r0,32i,故yCeCcos2xCsin2x.123二

5、.设fu有连续导数,f11,令zfxy,其中yyx是由方程xydzey0确定的隐函数,求.dxx0xydzdyxydydydyye解.fxy1,而eyx0,故xydxdxdxdxdx1xe2xydzyedzfxy1,又x0时y1,故2f12.xydx1xedxx022三.求Ixy1dxdy,其中Dx:1,y1.D222222解.I4xy1dxdy41xydxdy4xy1dxd

6、yD1x2y21x2y212111222444d1d4dxxy1dy.0001x222332222四.设是位于球面xyzaa内的顶点在原点,半顶角为的6内接正圆锥体,密度为,求它对位于原点处的单位质量质点的引力.zdv222解.FF0,FG,其中rxyz,xyz3r333a顶部为za,在球坐标中,即rcosar,因此222cos3a262cosrcos233FGdsindrdrG3a.

7、zr32000xcos五.设质量为m的物体沿轨道:ysin:20向下滑动,摩擦力Fz的大小为重力的一半,求物体从A1,0,2滑到B1,0,0期间F所作的功.mg1解.在处的Tsin,cos,1,Fsin,cos,1,220mgmgWFdrsindxcosdydz2d2mg.2222232222六.设fu有二阶连续导数,令uxy,则zfxy满足22zz22221122xyzxy

8、,证明fufuu,并求fu.xy442z22222解.2fxy4xfxy,2x2z