高中数学：函数的奇偶性与周期性.docx

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1、高中数学：函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有________，那么函数f(x)是偶函数都有________，那么函数f(x)是奇函数图像特征关于________对称关于________对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________，那么这个________就叫作f(x)的最小正周期．常用结论1．奇(偶)函数定义的等价形

2、式：(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数；(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．2．对f(x)定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T.(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2

3、a

4、；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2

5、a

6、；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝

7、a－b

8、.3．函数图像的对称关系：(1)函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图像关于直线x＝对称；(2)函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图像关于点对称．题组一　常识题1．[教材改编]函数f(x

9、)＝x2－1，f(x)＝x3，f(x)＝x2＋cosx，f(x)＝＋

10、x

11、中偶函数的个数是________．2．[教材改编]已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝－1，则f(－2)＝________．3．[教材改编]已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝log4(x2＋3)，则f(2017)＝________．题组二　常错题◆索引：判定奇偶性不化简解析式导致出错；找不到周期函数的周期从而求不出结果；性质应用不熟练找不到解题方法．4．函数f(x)＝是________(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)函数．5．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“

12、倒负”变换的函数，给出下列函数：①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2014)＝________．题组三　常考题7．[2015·福建卷改编]下列函数为奇函数的是________．(填序号)①y＝，②y＝tan2x，③y＝x＋cosx，④y＝ex＋e－x.8．[2014·湖南卷改编]已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．9．[2015·山东卷改编]函数f(x)＝是R上

13、的奇函数，则a·b＝________．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究点一　函数奇偶性的判断1(1)已知函数f(x)＝x－3，g(x)＝＋cosx，那么(　　)A．f(x)·g(x)是奇函数B.f(x)·g(x)是偶函数C.f(x)＋g(x)是奇函数D.f(x)＋g(x)是偶函数(2)下列函数中，是偶函数的是(　　)A．f(x)＝x2＋tan2xB．f(x)＝x

14、x

15、C．f(x)＝D．f(x)＝cosx＋sinx______________________________________________________________________________________

16、__________________________________________________________[总结反思](1)判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的x是否有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，必要时，可对上式作变形处理：f(－x)±f(x)＝0.(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图像作判断．式题(1)下列函数为奇函数的是(　　)A．y＝2x－B．y＝x3sinxC．y＝2cosx＋1D．y＝x2

17、＋2x(2)下列函数中，与函数y＝－3

18、x

19、的奇偶性相同，且在(－∞，0)上的单调性也相同的是(　　)A．y＝－B．y＝log2

20、x

21、C．y＝1－x2D．y＝x3－1　探究点二　函数的周期性2(1)周期为4的奇函数f(x)在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f(2014)＋f(2015)＝(　　)A．0B．－1C．2D．3(2)[2016·呼伦贝尔模拟]已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2