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1、第7章非线性方程与方程组的数值解法§7.1方程求根与二分法§7.2不动点迭代法及其收敛性§7.3迭代收敛的加速方法*§7.4牛顿法§7.5弦截法与抛物线法§7.6求根问题的敏感性与多项式的零点*§7.7非线性方程组的数值解法*在科学研究和工程设计中,经常会遇到的一大类问题是非线性方程f(x)=0(7.1)的求根问题，其中f(x)为非线性函数。方程f(x)=0的根,亦称为函数f(x)的零点。如果f(x)可以分解成,其中m为正整数且,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根
2、。若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m>1)当且仅当§7.1方程求根与二分法2非线性方程的概念当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的方程为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法3求根步骤通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行①判定根的存在
3、性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？②确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔离开来，这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值。③根的精确化。将根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止4二分法二分法又称二分区间法,是求解方程(7.1)的近似根的一种常用的简单方法。设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,根据连续函数的性质可知,f(x)=0在(a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间。为明确起见,假定方程f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根x*。二分法的基
4、本思想是:首先确定有根区间,将区间二等分,通过判断f(x)的符号,逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小,便可求出满足精度要求的近似根。5有根区间的确定为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，称为圈定根或根的隔离。在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定精度要求的初值。对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无解，并没有什么固定的圈根方法求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标。6有根区间的确定由高等数学知识知,设f(x)为区间[
5、a,b]上的单值连续,如果f(a)·f(b)<0,则[a,b]中至少有一个实根。如果f(x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。y=f(x)abyx大体确定根所在子区间的方法有：(1)画图法(2)逐步搜索法7画图法画出y=f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的大致位置。也可将f(x)=0分解为1(x)=2(x)的形式，1(x)与2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。例如xlogx-1=0可以改写为logx=1/x画出对数曲线y=logx,与双曲线y=1/x,它们交点的横坐
6、标位于区间[2,3]内8画图法023yx9y0xABa1b1a2b2对于给定的f(x),设有根区间为[A,B],从x0=A出发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0＋ih(i=0,1,2,…,n),从左至右检查f(xi)的符号,如发现xi与端点x0的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。搜索法10例题例7.1方程f(x)=x3-x-1=0确定其有根区间解：用试凑的方法，不难发现f(0)<0f(2)>0在区间（0，2）内至少有一个实根设从x=0出发,取h=
7、0.5为步长向右进行根的搜索,列表如下xf(x)00.51.01.52–––++可以看出，在[1.0,1.5]内必有一根11搜索法用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h要选择适当h，使之既能把根隔离开来，工作量又不太大。为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的基础上采用对分法继续缩小该含根子区间二分法可以看作是搜索法的一种改进。12二分法求根过程①取有根区间[a,b]之中点,将它分为两半,分点,这样就可缩小有根区间设方程f(x)=0在区间[a,b]内有根，二分法就是逐步收缩有根区间，最后得出所求的根。具体
8、过程如下13二分法求根过程②对压缩了的有根区间施行同样的手法,即取中点,将区间再分为两半,然后再确定有根区间,其长度是的二分之一③如此反复下去,若不出现,即可得出一系列有根区间序列：上述每个区间都是前一个区间的一半,因此的长度14二分法求根过程当k→∞时趋于零,这些区间最终收敛于一点x*即为所求的根。每次二分后,取有根区间的中点作为根的近似值，得到一个近似根的序列该序列以根x*为极限只
