初等数论第三章同余课件.ppt

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1、第三章同余同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工作之一.本章介绍同余的基本概念，剩余类和完全剩余系.生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？§3.1　同余的概念及其基本性质一、问题的提出1、今天是星期一，再过100天是星期几？3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数相同，问m最大值是多少？2、3145×92653=291093995的

2、横线处漏写了一个数字，你能以最快的办法补出吗？二、同余的定义注：下面的三个表示是等价的：TH2　设a，b，c，d，k是整数，并且ab(modm)，cd(modm)，则①acbd(modm)；②acbd(modm);③akbk(modm).注：TH1、TH2是最简单、常用的性质。TH4下面的结论成立：①ab(modm)，dm，d>0ab(modd)；②ab(modm)，k>0，kNakbk(modmk)；①ab(modm)，dm，d>0ab(modd)；②ab(modm)，k>0，kNakbk(modmk)；①ab(mod

3、m)，dm，d>0ab(modd)；②ab(modm)，k>0，kNakbk(modmk)；③ab(modmi)，1ikab(mod[m1,m2,,mk])；④ab(modm)(a,m)=(b,m)；③ab(modmi)，1ikab(mod[m1,m2,,mk])；④ab(modm)(a,m)=(b,m)；⑤acbc(modm)，(c,m)=1ab(modm);注：若没有条件(c,m)=1，即为TH2③的逆命题，不能成立。反例：取m=6,c=2,a=20,b=23.⑥⑦四、一些整数的整除特征(1)3、9的整除特征——

4、各位上的数字之和能被3（9）整除例1　检查5874192、435693　能否被3（9）整除。(2)7、11、13的整除特征注：一般地，求被m除的余数时，首先是求出正整数k，使得10k1或1(modm)，(2)7、11、13的整除特征特别地，由于，所以——奇偶位差法例2　检查637693、75312289能否被7（11，13）整除。由693－637＝56，所以637693能被7整除，但不能被11，13整除，当然也可以由6+3-7+6-9+3=2知637693不能被11整除；由75-312+289＝52，所以75312289能被13整除，但不能被7，11整除。例4　证

5、明：若n是正整数，则1342n+13n+2。解：42n+13n+2=4×42n9×3n4×3n9×3n=13×3n0(mod13)=4×16n9×3n例5设n的十进制表示是且792n，求x，y，z.解因为792=8×9×11，故8n，9n及11n。9n913xy45z=19xy9xy1，(1)11n11z54yx31=3yx113yx。(2)即有xy1=9或18，3yx=0或11解方程组，得到x=8，y=0，z=6。