冲击波第二讲课件.ppt

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1、1.3理想流体运动方程组没有扩散、粘性和热传导等耗散过程的流体称为理想流体。(1.22)一维不定常流体运动(1.51)其中r是空间坐标，u是流体在r方向的运动速度，现为标量N=0、1、2分别对应平面、柱面、球面对称的情况。在绝热运动情况下，能量方程可用方程等熵代替，流体动力学方程组可写为(1.52)对于多方气体，状态方程为，于是绝热性方程就给出，所以多方气体的绝热运动的封闭方程组为（1.53）在等熵运动情况下，一维不定常理想流体运动方程组由两个微分方程和一个状态方程组成（1.54）在实际工作中，流体动力学方程组还可写为各种等价的形式。例如对于多

2、方气体，可利用声速c的表达式置换上式中的p和ρ，把方程组写为u和c的方程：（1.55）此方程组是封闭的，求解得出u(x，t)和c(x，t)之后，利用热力学关系就得到其他的状态量p=p(c)=p(x，t)和ρ=ρ(c)=ρ(x，t)1.4伯努力方程在定常情况下，理想流体动量方程化为（1.56）根据矢量运算有（1.57）其中是速度的旋度，速度矢量点乘的积为（1.58）而所以等熵因为矢量积垂直u，所以它在流线切线方向上的投影为零，于是沿流线有（1.59）这就是著名的伯努利方程，其中称为伯努利常数。在一维流动情况下，q2=u2，伯努利方程为（1.60）

3、或者（1.60a）1.5不可压缩流体运动方程组流体在什么条件可认为是不可压缩的？在绝热运动中，流体密度的变化可表为在定常运动情况下，根据伯努利定律，压力变化其数量级正比于ρu2，故有若，则流体就可视为是不可压缩的，由上看出，它成立的必要条件是流体的运动速度远小于声速：u<

4、对称的情况，对方程(1.61）可立即积分得（1.63）其中，f(t)是时间t的任意函数。再用(1.63)式代人(1.62)式，积分得（1.64）例题试求如下不可压缩流体一维球对称运动的解，设在半径rf≤r≤R的球形空间内充满不可压缩流体，在外界面R上作用着给定的压力p(t)，内界面rf为自由面(即该处p=0)，求流体在p(t)作用下的运动。例如一个金属球壳当外界面上受到高压作用时产生的运动就可近似归结为这样的问题。解根据内边界条件，由(1.64)式得1.6流体力学方程组的积分形式积分形式的流体动力学力程组(1.65)质量守恒方程现令f=ρ(1.

5、66)根据质量守恒方程(1.5)，上式右端被积函数等于零，于是得(1.67)动量守恒方程令f=ρu(1.68)用动量守恒方程代入上式右端，就得(1.69)当没有外力F=0，没有粘性应力τ=0时(1.70)能量守恒方程令(1.71)用能量守恒方程代入上式右端，就得到积分形式的能量守恒方程(1.72)在无热传导q=0，无粘性τ=0，无能源R=0，无外力F=0的情况下(1.73)对于理想流体，积分形式的守恒方程组很简单(1.74)以上各式的物理含义很清楚，第一式表示体积V(t)内的质量永不变，第二式表示V(t)内的总动量的变化率等于体积表面积S(t)

6、上所受压力的总合，第三式表示V(t)内的总能量的变化率等于周围介质通过压力单位时间内对该体积内介质所做的功。我们还看到，以上各方程有一共同特点，等式左端是体积分，而等式右端均为面积分。1.7间断面及间断关系式设有一运动的间断曲面，其方程为F(x，y，z，t)=0，在经过时间▽t之后该面上的点M(x，y，z)沿法线方向运动到曲面F(x′，y′，z′，t+△t)=0上的点M′(x′，y′，z′)处，记MM’的距离为△l，则有另外因和，所以于是，曲面F=0在质点M(x，y，z)处沿法线方向的速度为(1.75)若曲面在M点的法线单位矢量记作n，则间断面

7、F=0的速度矢量为D=Dn现在来推导间断面上的关系式，设间断面上任意一块面积S*（t），它以速度D运动，取S*的外法向为D的正向，在S*的两边取两个表面S1(t)及S2(t)，它们如右图组成体积V(t)。设坐标原点取在面S*上，以l表示沿S*的法向n取的线坐标，并将面S1(t)及S2(t)到坐标原点的距离分别记作l1（t）及l2（t）。任何一个物理量，在体积V(t)内的积分为对上述积分求时间微商，得其中f1及f2是函数f分别在l1及l2处的值。考虑到，其中un是坐标为l（t）的曲面S(t)的运动速度在法向n上的分量，并注意到dS·n=dS，于是

8、上述积分的体积是某一时刻t时的体积V(t)，我们总可以将其两个表面取得无限靠近S*即S1→S*和S2→S*，同时保持S*仍位于S1与S2之间。另外，因