冲击波第四讲.ppt

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1、2.4雨贡纽曲线及瑞利曲线冲击波关系式的各种表达式中雨贡纽曲线和瑞利直线两式尤为重要，通过它们可以了解冲击波的一些基本性质。为讨论简单起见，设冲击波波前是静止状态，即u0=0，这不会影响冲击波的热力学性质，故也不影响本节讨论结果的普遍意义。瑞利直线是(2.6)式，可写为（2.43）雨贡纽关系式的一般形式是（2.44）对于理想气体，它是(2.13)式，即（2.45）对取实用状态方程(2.30)式的凝聚介质，它是(2.31)式，即（2.46）其中。再则，(2.45)式及(2.46)式都表明，沿雨贡纽曲线压力p可以由0变到∞，而比容τ则只能在τma

2、x与τmin之间变化，对于理想气体相应p=0及p=∞有对于凝聚介质关于曲线的形状，由(2.45)式及(2.46)式都看出，理想气体和凝聚介质的雨贡纽关系式都有（2.47）对大多数介质，都假设其状态方程p=g(τ，S)具有如下性质：（2.48）瑞利直线上熵的变化定理一若介质的状态方程p=g(τ，S)满足条件(2.48)式，则沿瑞利直线熵S最多只有一个极大值。现将瑞利直线的方程(2.43)写为(2.49)其中斜率，对于给定的直线它是一个常数，沿直线微分，得。考虑到沿直线还满足状态方程p=g(τ，S)，于是由此得再作一次微商，得（2.50）若假设沿

3、直线((2.49)式)熵有极值，则应有而由(2.50)式且考虑到条件(2.48)式，这时有（2.51）这就是说，若S有极值，则是极大值。由此也同时得知，沿该直线S不可能是常数。现在假设沿该直线S有两个以上的极大值，那么，在两个极大值之间必定有一个极小值，但是，由(2.51)式知道，所有的熵的极值都是极大值，所以，沿瑞利直线熵S最多只能有一个极大值。定理一证完。瑞利直线上雨贡纽函数的变化定理二瑞利直线上熵的极值点同时是雨贡纽函数的极值点；反之，雨贡纽函数的极值点也是该直线上熵的极值点。下列函数称为雨贡纽函数：（2.52）显然，H(τ，p)=0就

4、是雨贡纽曲线。现对（2.52）式求微分，得（2.53）考虑到de=TdS－pdτ，(2.53)式化为(2.54)因为沿直线(2.49)式有(τ－τ0)dp－(p－p0)dτ=0，所以沿该直线有dH=TdS可见，在该直线上当dS=0时，就有dH=0，反之亦然。这就证明了沿瑞利直线熵S的极值点与雨贡纽函数H的极值点相重合。定理三若状态方程满足条件(2.48)式，则沿着瑞利直线雨贡纽函数最多只能有一个极值点。这实际上是以上两个定理的推论。因为沿瑞利直线S与H的极值点重合，而S的极值点最多只有一个，所以H的极值点也最多只能有一个。冲击波解的确定性要证

5、明：瑞利直线与雨贡纽曲线的交点除初始点(τ0，p0)之外只有一个。现假设R直线与H曲线的交点超过两点，即出现如图(a)所示的情况，则沿R直线函数H的变化至少要出现两个以上极值，这与定理三矛盾。因此，R直线与H曲线相交的图像只能是如图(b)所示的情况，即交点最多只能有两个，一个是波前的“0”状态，另一个就是波后状态。瑞利直线（波速线）的物理意义波速线是一定波速的冲击波传过具有同一初始状态(p0,v0)的不同介质所达到的终点状态的连线。雨贡纽曲线（冲击绝热线）的物理意义冲击绝热线上各个点的状态就是不同波速冲击波传过同一初始状态点(p0,v0)的同

6、一介质所达到的终点状态的连线。雨贡纽曲线与等熵线的关系首先，证明一个重要性质：雨贡纽曲线与等熵线在初始点处二阶相切。同前H(τ，p)=0或p=G(τ)表示雨贡纽曲线，而等熵线为p=g(τ，S0)，其中熵S=S0为常数。由状态方程p=g(τ，S)可得S=S(τ，p)，于是沿雨贡纽曲线有S=S(τ，G(τ))=S(τ)，即熵只是τ的函数。所以，对雨贡纽曲线有对此式求微商，得在初始点(τ0，p0)处有，于是得到这就证明了，雨贡纽曲线p=G(τ)与等熵线p=g(τ，S0)在点(τ0，p0)处二阶相切，图4.3中的曲线S就代表过点(τ0，p0)的等熵线

7、。对理想气体情况容易直接看出这一性质。对其雨贡纽曲线（2.45）式求微商，得于是，在点(τ0，p0)处有这与理想气体的等熵线p=A(S)ργ在该点的一阶、二阶微商完全相等。对于凝聚介质，其雨贡纽曲线是(2.46)式，求微商得凝聚介质的等熵线是，它的微商为在(τ0，p0)点以上两曲线的相应微商相等。现在来看等熵线在(τ，p)平面上的分布情况。根据(2.48)式的前两点性质可知，等熵线也是单调向上凹的。又根据gS>0得知，若S1>S0，则对相同的τ值有，即熵值大的等熵线在上方。所以，不同熵值的等熵线的分布如图4.5所示。下节将证明，沿雨贡纽曲线熵

8、随τ的减小而增加，即，又已知H=0与p=g(τ，S0)两曲线在(τ0，p0)处相切，所以曲线H=0位于等熵线p=g(τ，S0)的上方。由于沿雨贡纽曲线有而根据条件(