复变函数课后习题答案.docx

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1、'.习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）1（）i32i21)(i2)(i（3）13i（4）i84i21ii1i132i，解：（1）z32i13因此：Rez3,Imz2，1313z1,argzarctan2,z32i1331313（2）zii3i(i1)(i2)13i10，因此，Rez3,Imz1，1010z1,argzarctan1,z31i1031010（3）z13ii33i35i，i1i22因此，Rez3,Imz5，32z34,argzarctan5,z35i2i84i2132（4

2、）zi14ii13i因此，Rez1,Imz3，z10,argzarctan3,z13i2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）13i（3）r(sinicos)（4）r(cosisin)（5）1cosisin(02)解：（1）icosisinie222;.'.（2）13i2(cos2isin22i)2e333（3）（4）r(sinicos)r[cos()isin()]()ire222r(cosisin)r[cos()isin()]rei（5）1cosisin2sin22isincos2222sin[c

3、osisin]2sini2e22223．求下列各式的值：（1）(3i)5（2）(1i)100(1i)100（3）（5）3(13i)(cosisin)(cos5isin5)2(1i)(cosisin)（4）isin3)3(cos3i（6）1i解：（1）(3i)5[2(cos()isin())]5665)5))16(3i)25(cos(isin(66（2）(1i)100(1i)100(2i)50(2i)502(2)50251(13i)(cosisin)（3）i)(cosisin)(12[cos()isin()](cos

4、isin)332[cos()isin()][cos()isin()]442[cos()isin()](cos2isin2)1212(2)i2[cos(2)isin(2)]2e121212;.'.（4）(cos5isin5)2(cos3isin3)3cos10isin10cos19isin19cos(9)isin(9)（5）3i3cosisin2231i,k022cos1(2k)isin1(2k)31i,k1323222i,k2（6）1i2(cosisin)444ik042[cos1(2k)isin1(2k)]2e8,

5、242442e8i1,k4．设z11i,z23i,试用三角形式表示zz与z1212z2解：z1cos4isin,z22[cos()isin()]，所以466z1z22[cos()isin()]2(cosisin)，46461212z11)isin()]155)z2[cos(4(cosisin2646212125．解下列方程：（1）(zi)51（2）z4a40(a0)解：（1）zi51,由此;.'.z51i2kii，(k0,1,2,3,4)e5（2）z4a44a4(cosisin)a[cos1(2k)isin1(2k)

6、]，当k0,1,2,3时，对应的444个根分别为：a(1i),a(1i),a(1i),a(1i)22226．证明下列各题：（1）设zxxyzxyiy,则2证明：首先，显然有zx2y2xy；其次，因x2y22xy,固此有22)(x2,2(xyy)从而zx2y2xy。2（2）对任意复数z1,z2,有z1222z2z1z22Re(z1z2)证明：验证即可，首先左端(xx)2(yy)2，1212而右端x12y12x22y222Re[(x1iy1)(x2iy2)]x12y12x22y222(x1x2y1y2)(x1x2)2(y

7、1y2)2，由此，左端=右端，即原式成立。（3）若abi是实系数代数方程a0zna1zn1an1za00的一个根，那么abi也是它的一个根。证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，zn(z)n，由此得到：a(z)na(z)n1aza001n10由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。结论得证。（4）若a1,则babaa,皆有ab1;.'.证明：根据已知条件，有aa1，因此：ababab1a，证毕。1abaaab(aa)ba（5）若a1,b1，则有ab11ab证明：a2(ab)(

8、ab)22abab，bab2(1ab)(1ab)122abab，1abab因为a1,b1，所以，2222221)0，abab1(1a)(b因而ab221ab，即ab1，结论得证。1ab7．设z1,试写出使zna达到最大的z的表达式，其中n为正整数，a为复数。解：首先，由复数的三角不等式有znazna1a，在上面两个不等式都取等号时zna达到最