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《复变函数课后习题答案(全).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、----精心整理习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）1（2）i2i1)(i2)3(i（3）13i（4）i84i21ii1i解：（1）z132i，32i13因此：Rez3,Imz2，1313（2）zii3i，(i1)(i2)13i10因此，Rez3,Imz1，1010（3）z13iii33i35i，i122因此，Rez3,Imz5，32（4）zi84i21i14ii13i因此，Rez1,Imz3，2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（）（）13i（）r(sinicos)1i23（4）r(cosisin)（5）1co
2、sisin(02)解：（1）icosisinie222222（2）13ii2(cosisin)2e333（3）r(sinicos)r[cos()isin()]()i2re22（4）r(cosisin)r[cos()isin()]rei（5）1cosisin2sin222isincos22---------页脚内容---------..3．求下列各式的值：（1）(3i)5（2）(1i)100(1i)100（3）(13i)(cosisin)（4）(cos5isin5)2(1i)(cosisin)(cos3isin3)3（5）3i（）1i6解：（1）(3i
3、)5[2(cos()isin())]566（2）(1i)100(1i)100(2i)50(2i)502(2)50251（3）(13i)(cosisin)(1i)(cosisin)(cos5isin5)2（4）isin3)3(cos3（5）3i3cosisin22（6）1i2(cosisin)444．设z11i,z23i,试用三角形式表示zz与z1212z2解：zcosisin,z22[cos()isin()]，所以14466z1z22[cos()isin(46)]2(cos12isin)，46125．解下列方程：（1）(zi)51（2）z4a40(a
4、0)解：（1）zi51,由此z51i2kii，(k0,1,2,3,4)e5（2）z4a44a4(cosisin)---------..---------精心整理a[cos1(2k)isin1(2k)]，当k0,1,2,3时，对应的4个根分别为：44a(1i),a(1i),a(1i),a(1i)22226xiy,则xyzxy．证明下列各题：（1）设z2证明：首先，显然有zx2y2xy；其次，因x2y22xy,固此有2(x2y2)(xy)2,从而zx2y2xy2。（2）对任意复数z,z,有z12z12z222Re(z1z2)z212证明：验证即可，首先左
5、端(x1x2)2(y1y2)2，而右端x12y12x22y222Re[(x1iy1)(x2iy2)]x12y12x22y222(x1x2y1y2)(x1x2)2(y1y2)2，由此，左端=右端，即原式成立。（3）若abi是实系数代数方程aznazn1aza0001n1的一个根，那么abi也是它的一个根。证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，zn(z)n，由此得到：a(z)na(z)n1aza001n10由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。结论得证。（4）若a1,则ba,皆有aba1ab证明：根据已知条件，
6、有aa1，因此：ababab1a，证毕。1abaaaba(ab)a（5）若a1,b1，则有ab11ab---------页脚内容---------..2(ab)(ab)22ab，证明：ababab2221ab(1ab)(1ab)1ababab，因为a1,b1，所以，a222222bab1(1a)(b1)0，22ab因而a1ab，即b1，结论得证。1ab7z1,试写出使zna达到最大的z的表达式，其中n为正整数，a为复数。．设解：首先，由复数的三角不等式有znazna1a，在上面两个不等式都取等号时zna达到最大，为此，需要取zn与a同向且zn1，即z
7、n应为a的单位化向量，由此，zna，a8．试用z1,z2,z3来表述使这三个点共线的条件。解：要使三点共线，那么用向量表示时，z2z1与z3z1应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差0或的整数倍，再由复数的除法运算规则知Argz2z1应为0或的整数z3z1倍，至此得到：z,z,z三个点共线的条件是z2z1为实数。123z3z19．写出过z1,z2(z1z2)两点的直线的复参数方程。解：过两点的直线的实参数方程为：xx1t(x2x1)，yy1t(y2y1)因而，复参数方程为：其中t为实参数。10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t为实参数）（1）z
8、(1i)t（2）zacostiibsint（3）ztt---------..---------精心整理解：只
