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《高三数学教案：复习奥林匹克的技巧32.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学复习奥林匹克的技巧（中篇）2-7-8配配的形式是多的，有数字的凑整配或共配，有解析式的称配或整体配，有子集与其集的配，也有集合象与原象的配。凡此种种，都体了数学和美的追求与力量，小高斯求和（1+2+⋯+99+100）首了配，IMO163也用到了配。502例2-143求[305n]之。502解作配理n0[305n]503251n1([305n305(503n)251304503][503])30425176304503n1503例2-144求和anCn12Cn2⋯kCnk⋯nCnn解一由CnkCnnk把an倒排，有
2、an0Cn01Cn12Cn2⋯kCnk⋯nCnnannCnn(n1)Cnn1⋯(nk)Cnnk⋯0Cnn相加2ann(Cn0Cn1⋯Cnn)n?2n得ann?2n1解二集合S1,2,⋯,n，注意到k⋯kCnA,k1,2,,nAS,Ak有anASA了求得A把每一AS，它与集A配，共有2n1，且每中均有AAnAS于是anAnn⋯nn?2n1AS两种解法形式上有不同，但本上是完全一的，有一个解法例2-149。例2-145设x1,x2,⋯,xn是定的数，明存在数x使得xx1xx2⋯xxnn12里的y表示y的小数部分。明有yy1,yZ知
3、yy10,yZ下面利用一配式的。fixix1x1x2xixn第1页共12页n1Cn2n(n1)fi(xixjxjxi)i11ijn1ijn2据抽屉原理①知，必存在k(1kn)，使12n1nCn2fk取xxk，由上式得xx1xx2⋯xn1xn22-7-9特殊化特殊化体现了以退求进的思想：从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况、退到最小独立完全系的情况，先解决特殊性，再归纳、联想、发现一般性。华罗庚先生说，解题时先足够地退到我们最易看清楚
4、问题的地方，认透了、钻深了，然后再上去。特殊化既是寻找解题方法的方法，又是直接解题的一种方法。例2-146已知恒等式(2x1)8(axb)8(x2cxd)4求实数a,b,c,d，其中a0。解对x取特殊值，当x1时，有(ab)8(1cd)402242故有ab0（1）1cd0（2）242又取x0（即比较常数项系数），有1b8d4（3）比较x8的系数（考虑特殊位置），有28a81（4）由④得a82818255代入（1），得b82552代入原式左边，有(2x1)8(8255x255)8256(x1)8255(x1)8222(x1)8(
5、x2x1)424故知c1,d1。4也可以将a,b的值代入（3）、（2）求d,c，但要检验排除增根。例2-147已知a为常数，xR，且f(xa)f(x)1f(x)1求证f(x)是周期函数。第2页共12页分析作特殊化探索。求解的困难在于不知道周期，先特殊化，取一个满足条件的特殊函数f(x)ctgx且a，有ctg(x)ctgx1ctgx144但ctgx的周期为T44a。猜想：T4a4是周期。f(xa)1f(x)111证明由已知有f(x2a)f(x)1f(xa)1f(x)1f(x)1f(x)1据此，有f(x4a)11f(x)f(x2a
6、)1f(x)得证f(x)为周期函数，且T4a为一个周期。例2-148在平面上给定一直线，半径为n厘米（n是整数）的圆以及在圆内的4n条长为1厘米的线段。试证在给定的圆内可以作一条和给定直线平行或垂直的弦，它至少与两条给定的线段相交。分析特殊化，令n1，作一个半径为1的圆，在圆内作四条1厘米长的线段，再作一条与已知直线L垂直的直线L’（图2-63）现从结论入手，设AB∥L并与两条弦相交，则交点在L’上的投影重合，反之，如果四条线段在L或L’上的投影有重合点，则从重合点出发作垂线即可。由特殊化探索出一个等价命题：将给定的线段向已知
7、直线L或L的垂线作投影时，至少有两个投影点重合。这可以通过长度计算来证实。证明设已知直线为L，作L’⊥L，又设4n条线段为d1,d2,⋯,d4n，每一条di在L，L’上的投影长为ai,bi(1i4n)，有ai0,bi0,ai2bi21。由aibi(aibi)2ai2bi214n4n4n得aibi(aibi)4ni1i1i14n4n2n厘米，但圆的直径为2n厘米，故d1,d2,⋯,d4n从而，两个加项ai,bi中必有一个不小于i1i1在L或L’的投影中，至少有两条线段的投影相交，过重迭点作L或L’的垂线即为所求。（将ai,bi表
8、示为三角函数运算更方便）.IMO275（例2-51）的求解过程，实质上是对表达式f(xf(y))?f(y)f(xy)中函数的三第3页共12页个表达式f(y),f(xy),f(xy(y))分别取值为f(2)02-7-10一般化推进到一般，就是把维数较低或抽象程度较弱的有关问题转
