奥林匹克数学的技巧

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1、2-7奥林匹克数学的技巧上面按内容分类介绍奥林匹克数学的四大支柱时，已经广泛接触到数学竞赛的基本方法与基本技巧．本节作横向的分类，集中介绍数学竞赛中的解题思路、解题方法和解题技巧．1．常规方法（体现数学竞赛方法的一般性）数学竞赛题首先是数学题，但又不是单靠记忆和模仿就能解决的常规“练习题”（Exercise），而是具有接受性、障碍性、研究性的问题（Problen），须在一般思维规律指导下，综合而灵活地运用数学基础知识和数学基本方法才能解决，表现为一种创造活动．这当中经常使用一些常规方法，如构造法、反证法、数学归纳法、

2、换元法、配方法、待定系数法……，平时掌握的所有解题方法都可以用到竞赛上来．2．数学奥林匹克的技巧（体现竞赛方法的特殊性）构造、对应、递推、区分、染色、极端、对称、配对、特殊化、一般化、数字化、不变量、整体处理、变换还原、逐步调整、奇偶分析、优化假设、计算两次、辅助图表．这些方法在中学日常教学中用得比较少，因而表现出竞赛方法的特殊性．3．数学奥林匹克技巧的性质在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思

3、维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美．”奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分．·使用数学技巧的技巧，2-7-1构造它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决．常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等．例1求值解（构造图形）作，，，且作使，则．由面积关系，，，．例2已知为正数且求表达式的最小值．（1989．全苏）解法1（构造图形）构造一个，其中三边长分别为则其面积为．另方面故知，当

4、且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即时，取最小值2，下面验证最小值可以取到．由有，取代入上式，得，解之取正值，得．解法2用基本不等式，当时，有最小值2，例3已知，求证．证明1由已知条件可得，．证明2（构造方程）从想到一元二次方程的判别式，而已知条件即得方程有时实根，于是得判别式非负．例4有质量为克，克，…，克的砝码，证明可将它们分成质量相等的两组，每组各有500个砝码．证明（构造恒等式）构造一个4平方恒等式均等于．分别令，并求和即得．例5有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨

5、数之和都是偶数，问最少要把这些苹果和梨分成几堆？解（1）4堆是不能保证得.如4堆的奇偶性为：（反例）（奇奇），（偶偶），（奇偶），（偶奇）.（2）5堆是可以保证.因为苹果和梨数的奇偶性有且只有上述4种可能，当把这些苹果和梨分成5堆时，必有2堆属于同一奇偶性，其和苹果数与梨数都是偶数.例6一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋．证明（构造抽屉）用表示这位棋手在第1天至第天（包括第天在内）所下的总盘数（），依题意考虑154个数：又由，即154个数

6、中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于时，，故只能是满足．这表明，从天到天共下了21盘棋．这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理．例7(27-3德意志民主共和国)正五边形的五个顶点每个对应一个整数,使得这五个整数的和为正．若其中三个相连顶点相应的整数依次为,而中间的,则要进行如下的调整:整数分别换为,只要所得的五个整数中至少还有一个为负数时,这种调整就继续进行,问是否这种操作进行有限次以后必定终止．

7、证明（构造函数）作函数若，则进行一次操作，有相减这表明，每经过一次操作的值至少减少2，但为非负正数，因此，这种操作进行有限次以后必定终止例8　命题“若为无理数，则也为无理数”是否成立？解（构造反例）不成立，构造反例如下：取无理数，考虑，（1）若为有理数，则取为反例.（2）若为无理数，则取，有，为反例.例9编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八支篮球队进行循环赛，每天每队赛1场，7天赛完，请给安排一张日程表.解（构造算法）用同余的方法来设计.先考虑1，2，3，4，5，6，7，的比赛（剩下的队与8比赛）.如果，我们就安

8、排第队与第队在第天比赛，这样第天就安排第队与第或队比赛，每天前7个队最多赛1场，还有1个队满足两边乘以4，有依次取。可得没有比赛的队为4，1，5，2，6，3，7，可安排其与第8队比赛.得到下面的日程表第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天1，71，81，21，31，41，51，62，62，73，72，82，32，42，53，53，64，64