一轮复习第节立体几何中的向量方法理ppt课件.pptx

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1、一、直线的方向向量和平面的法向量1．直线的方向向量直线l上的向量e或与e的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有个．共线无数2．平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量也有个，且它们是向量．无数多共线1．求平面法向量的一般步骤是什么？二、利用空间向量求角1．求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

2、cos〈a，n〉

3、(2)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两

4、个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是(如图②③)．二面角的平面角的大小求出两平面法向量的夹角后，一定要根据图形来判断二面角的大小与两法向量夹角的关系，然后得出结论．2．点到平面的距离公式如何推导？1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2，4，－4)，b＝(－6，9，6)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确解析：∵a·b＝2×(－6)＋4×9＋6×(－4)＝0，∴a⊥b，从而l1⊥l2.答案：B2．若平面α与平面β的法向量分别是a＝(

5、4，0，－2)，b＝(－4，0，2)，则平面α与β的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法判断解析：由题意，有a＝－b，∴a与b共线，从而α与β平行．答案：A4．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)．n＝(0，1，1)，则两平面所成二面角的大小为________．5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中点，则对角线DB1与CM所成角的余弦值为________．【考向探寻】1．利用空间向量证明平行关系．2．利用空间向量证明垂直关系．【典例剖析】(1)若直线l的方向向量为a

6、，平面α的法向量为n，能使l∥α的是A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)(2)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：①DE∥平面ABC；②B1F⊥平面AEF.题号分析(1)根据a，n是否垂直进行判断.(2)建立空间直角坐标系，运用向量法证明.(1)解析：若

7、l∥α，则需a·n＝0即可，经验证知D满足．答案：D(1)用向量证平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线．线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．面面平行①证明两平面的法向量为平行(即为共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题.(2)用向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证他们的数量积为零．线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直

8、的判定定理转化为证明线面垂直．面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性。如证明线面平行时，仍需要体现出一条直线在平面内、另一条直线在平面外的答题步骤．【活学活用】1.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.证明：以C为坐标原点

9、，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°，【考向探寻】1．利用空间向量求两异面直线所成的角，线面角、二面角的大小．2．利用空间向量求空间中的距离问题．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则点C1到平面A1ED的距离是________．(1)建立坐标系，利用向量法求线面角．(2)建立坐标系，利用向量法求点到面的距离．(3)①用几何法证明；②用向量法求解．(3)①证明

10、：连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN∥BD.又因为MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.②(1)空间角的求法①异面直线所成的角设异面直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2，他们所成的角为θ，则cosθ＝

11、cos〈n1，n2〉

12、.②直线与平面所成的角设直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，直线和平面所成的角为θ，则sinθ＝

13、cos〈m，n〉

14、.【活学