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1、佛山科学技术学院上机报告课程名称数学建模上机项目指数增长模型和Logistic模型专业班级姓名学号________一、问题提出人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一。认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。要求：分别建立并求解两个最基本的人口模型，即：指数增长模型和Logistic模型，并利用表1给出的近两百年的人口统计数据，画出图形拟合数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年的人口。表1人口统计数据年（公元）人口（百万）17903.918005.318107.218209.618301
2、2.9184017.1185023.2年（公元）人口（百万）186031.4187038.6188050.2189062.9190076.0191092.01920106.5年（公元）人口（百万）1930123.21940131.71950150.71960179.31970204.01980226.51990251.4模型一 ：指数增长（Malthus）模型：(1)模型假设常用的计算公式：今年人口x0,年增长率r，k年后人口为假设：人口增长率r是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）。符号说明：~t=0时的
3、人口数，~时刻t的人口数(2)模型建立（显示模型函数的构造过程）由于量大，可看作连续、可微函数，到时间内人口的增量为于是满足微分方程（1）(3)模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）解微分方程（1）得（2）当时，,即随着时间增加，人口按指数规律无限增长。(4)模型的参数估计要用模型的结果（2）式来预报人口，必须对常数r进行估计，可以用表1的数据通过拟合得到。取，通过（2）式以及表中1790-1990的数据进行最小二乘法拟合得r=0.2169.程序如下：模型求解：取初始值x(0)=3.9Matlab程序：建立
4、M文件volum.m,如下：functiony=volum(beta,t)y=3.9*exp(beta(1)*t);再建立r1.m程序，如下：t=0:1:20;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];beta0=[0.01];[beta,r,J]=nlinfit(t',x','volum',beta0);beta结果为beta=0.2169(5)模型检验先建立M文件renkou
5、.m，如下：functionx=renkou(beta,t)x=3.9*exp(beta*t);再建立程序zhishu.m，如下：t=0:1:20;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];beta0=0.01;beta=nlinfit(t',x','renkou',beta0)y=3.9*exp(beta*t);yplot(t,x,'*',t,y)error=abs(y-x)结
6、果为：beta=0.2169y=Columns1through83.90004.84446.01767.47489.284911.533414.326417.7957Columns9through1622.105127.458234.107542.367152.626865.371181.2015100.8655Columns17through21125.2914155.6324193.3208240.1359298.2879error=Columns1through800.45561.18242.12523.61515
7、.56668.873613.6043Columns9through1616.494922.741828.792533.632939.373241.128941.998530.8345Columns17through2125.408623.667610.679213.635946.8879图像如下：根据拟合出的数据和原来数据填写表格，如下：表2实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年(公元)实际人口（百万）指数增长模型预测人口（百万）误差17903.93.9000018005.34.84470.455318107.26.0
8、1811.181918209.67.47582.1242183012.99.28663.6134184017.111.53605.5640185023.214.33038.8697186031.417.801413.5986187038.622.113216.4868188050.227.469522.7305189
