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1、不等式恒成立问题的大全12.7--------------------------------------------------------------------------作者:_____________--------------------------------------------------------------------------日期:_____________不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、
2、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)ax2bxc(a0,xR),有1）f(x)0对xR恒成立a0;02）f(x)0对xR恒成立a0.0例1．已知函数ylg[x2(a1)xa2]的定义域为R，求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不
3、等式x2(a1)xa20对xR恒成立，即有(a1)24a20解得a1或a1。3所以实数a的取值范围为(,1)(1,)。3若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例2．设f(x)x22mx2，当x[1,)时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围。解：设F(x)x22mx2m，则当x[1,)时，F(x)0恒成立当4(m1)(m2)0即2m1时，F(x)0显然成立；yx-Ox当0时，如图，F(x)0恒成立的充要条件为：0F(1)0解得3m2。2m21综上可得实数m的取值范围为[3,1)。二、最值法将不等式恒成立
4、问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）f(x)a恒成立af(x)min2）f(x)a恒成立af(x)max1．已知两个函数f(x)8x216xk，g(x)2x35x24x，其中k为实数.(1)若对任意的x3，3，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围；(2)若对任意的x、x23，3，都有f(x)g(x)，求k的取值范围.112(3)若对于任意x13,3,总存在x03,3使得g(x0)f(x1)成立，求k的取值范围.【分析及解】(1)令F(x)g(x)f(x)2x33x212xk,问题转化为F(x)0在x3
5、,3上恒成立,即F(x)min0即可∵F'(x)6x26x126(x2x2),由F'(x)0,得x2或x1.∵F(3)k45，F(3)k9，F(1)k7，F(2)k20,∴F(x)mink45,由k450,解得k45.(2)由题意可知当x3，3时,都有f(x)maxg(x)min.由f'(x)16x160得x1.∵f(3)24k，f(1)8k,f(3)120k,∴f(x)maxk120.由g'(x)6x210x40得x1或x2,3∵g(3)21,g(3)111,g(1)1,g(2)28,327∴g(x)min21.则120k2
6、1,解得k.141(3)若对于任意x13,3,总存在x03,3使得g(x0)f(x1)成立，等价于fx的值域是gx的值域的子集，由(2)可知，f(x)8x216xk在3,3的值域为k8,k120，g(x)2x35x24x在3,3的值域为21,111，于是，k8,k12021,111，即满足k821,9k13k120解得111.2．已知f(x)7x228xa,g(x)2x34x240x，当x[3,3]时，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围。解：设F(x)f(x)g(x)2x33x212xc，则由题可知F(x)0对任意x[
7、3,3]恒成立令F'(x)6x26x120，得x1或x2而F(1)7a,F(2)20a,F(3)45a,F(3)9a,∴F(x)max45a0∴a45即实数a的取值范围为[45,)。3．函数f(x)x22xa,x[1,)，若对任意x[1,)，f(x)0恒成立，x求实数a的取值范围。解：若对任意x[1,)，f(x)0恒成立，即对x[1,)，f(x)x22xa0恒成立，x考虑到不等式的分母x[1,)，只需x22xa0在x[1,)时恒成立而得而抛物线g(x)x22xa在x[1,)的最小值gmin(x)g(1)3a0得a3a注：本题还
8、可将f(x)变形为f(x)2，讨论其单调性从而求出f(x)最小xx4.已知f(x)x2ax3a，若x[2,2],f(x)2恒成立，求a的取值范围.解析本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意x[2,2],f(x)min2.若x[2,2],f(x)2恒成立
