不等式恒成立问题地大全12.7

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1、实用文案不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1）对恒成立;2）对恒成立例1．已

2、知函数的定义域为R，求实数的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。所以实数的取值范围为。若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例2．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则当时，恒成立Oxyx-1当时，显然成立；当时，如图，恒成立的充要条件为：解得。综上可得实数的取值范围为。二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立1．已知两个函数，其中为实数.标准文档实用文案(1)若对任意的，都有成立，求的取值范围；(

3、2)若对任意的，都有，求的取值范围.(3)若对于任意,总存在使得成立，求的取值范围.【分析及解】(1)令,问题转化为在上恒成立,即即可∵,由,得或.∵,∴,由,解得.(2)由题意可知当时,都有.由得.∵,,∴.由得,∵,,,,∴.则,解得.(3)若对于任意,总存在使得成立，等价于的值域是的值域的子集，由(2)可知，在的值域为，在的值域为，标准文档实用文案于是，，即满足解得2．已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则由题可知对任意恒成立令，得而∴∴即实数的取值范围为。3．函数，若对任意，恒成立，求实数

4、的取值范围。解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得而抛物线在的最小值得注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小4.已知，若恒成立，求a的取值范围.解析本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.若恒成立或或，即a的取值范围为.值。三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立标准文档实用文

5、案实际上，上题就可利用此法解决。略解：在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。1、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。解：根据题意得：在上恒成立，即：在上恒成立，设，则当时，所以2、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。解：令，所以原不等式可化为：，要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。3．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。解：将问题转化为对恒成立。令，则由可知在上为减函数，故∴即的取值范围为。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例4已知函数，若在

6、区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.解析本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题.对于标准文档实用文案恒成立对于恒成立,令,设,则,即x=1时,k的取值范围是k>2.变式若本题中将改为，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.由题意得，对于恒成立对于恒成立,令,设,则，,,k的取值范围是k>.4.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围.解析本题不等式中有三个变量，因此

7、可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则对于所有的恒成立对于所有的恒成立，即对于所有的恒成立，令，只要，．四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例1已知对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0恒成立，求x的取值范围.解析本题按常规思路是分a=0时f(x)是一次函数，a≠标准文档实用文案0时是二

8、次函数两种情况讨论，不容易求x的取值范围。因此，我们不能总是把x看成是变量，把a看成常参数，我们可以通过变量转换，把a看成变量，x看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a∈[-1,1]时，g(a)>0恒成立，则，得.例2、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。解：设，对满足的，恒成立，解得：例3．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式