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1、第6章对偶理论的经济学应用§6.1对偶问题的定义及性质一、对偶问题的定义通过一个例子来说明对偶问题。1.求周长为a，面积最大的矩形根据题意可建立如下最优化模型：maxS=xys.t.2(x+y)=a§6.1对偶问题的定义及性质通过构造Lagrange函数，求解一阶必要条件，并验证二阶充分条件，可得(x*,y*,λ*)=(a/4,a/4,a/8)是模型的均衡解。解得：S*=a2/16。2.求面积为a2/16，周长最小的矩形该问题可写为：minZ=2(x+y)s.t.xy=a2/16通过构造Lagrange函
2、数，求解一阶必要条件，并验证二阶充分条件，可得(x*,y*,μ*)=(a/4,a/4,8/a)是模型的均衡解。解得：Z*=a。§6.1对偶问题的定义及性质比较一下：二者均衡解相同，且Lagrange乘子互为倒数。——称这两个问题为对偶问题，若其中一个被称为原始问题，则另一个就被称为对偶问题。★对偶是两个最优化模型间的一种关系：如果一个模型求极大化，另一个模型求极小化，极大化模型的目标函数是极小化模型的约束条件，极小化模型的目标函数是极大化模型的约束条件，而且如果极大化模型的最优值为极小化模型中约束条件的右
3、端值、极小化模型的最优值§6.1对偶问题的定义及性质为极大化模型中约束条件的右端值。那么，把这两个模型称为对偶模型，若一个为原始模型，则另一个问题为它的对偶模型。二、对偶问题的性质⑴对偶模型的对偶为原模型，即互为对偶；⑵原模型与对偶模型均衡解相同；⑶原模型与对偶模型Lagrange乘子互为倒数。§6.2消费者的效用极大化和支 出极小化问题一、原始问题——消费者的效用极大化实际上，这一问题就是我们前面讲过的带有等式约束的消费者效用极大化问题，即：maxU=U(x,y)s.t.Px·x+Py·y=M其中：U(
4、x,y)为消费者的效用函数，x和y表示两种商品的消费量，Px和Py表示两种商品的价格，M为消费者的货币收入即预算约束。§6.2消费者的效用极大化和支 出极小化问题我们在前面已求解了该问题。首先，构建上述效用极大化问题的Lagrange函数为：L(x,y,λ)=U(x,y)+λ(M–Px·x–Py·y)一阶必要条件为：二阶充分条件为：Lx=U’x–λPx=0Ly=U’y–λPy=0Lλ=M–Px·x–Py·y=0§6.2消费者的效用极大化和支 出极小化问题在满足二阶充分条件的基础上，由一阶必要条件可求解得到
5、效用极大化问题的均衡解：xM=xM(Px,Py,M)yM=yM(Px,Py,M)λM=λM(Px,Py,M)将xM和yM代入目标函数中，得：U*=U*[xM(Px,Py,M),yM(Px,Py,M)]=V(Px,Py,M)，其中V(Px,Py,M)称为间接效用函数，是货币收入和商品价格的函数，表示在收入限制下的极大效用值。马歇尔需求函数§6.2消费者的效用极大化和支 出极小化问题二、对偶问题——消费者的支出极小化实际上，这一问题就是我们前面讲过的带有等式约束的消费者支出极小化问题，即：minE=xPx+y
6、Pys.t.U(x,y)=U*[效用极大化问题最优值]其中：U(x,y)为消费者的效用函数，x和y是两种商品的消费量，Px和Py是两种商品的价格。§6.2消费者的效用极大化和支 出极小化问题我们在前面也求解过其均衡解。首先，构造Lagrange函数：L=xPx+yPy+μ[U*–U(x,y)]一阶必要条件为：二阶充分条件为：Lx=Px–μU’x=0Ly=Py–μU’y=0Lμ=U*–U(x,y)=0§6.2消费者的效用极大化和支 出极小化问题在满足二阶充分条件的基础上，由一阶必要条件可求解得到支出极小化问
7、题的均衡解：xH=xH(Px,Py,U*)yH=yH(Px,Py,U*)μH=μH(Px,Py,U*)将xH和yH代入目标函数中，得到：Px·xH(Px,Py,U*)+Py·yH(Px,Py,U*)=E(Px,Py,U*)，称E(Px,Py,U*)为支出函数，是效用和商品价格的函数，表示为了获得效用U*所需要的最低支出的极小值函数。希克斯需求函数§6.2消费者的效用极大化和支 出极小化问题三、效用极大化与支出极小化的对偶关系由前面可知，当支出极小化模型中的约束U*为效用极大化模型所求极大值时，两模型互为对
8、偶模型。下面分析一下它们均衡解和必要条件之间关系。1.二者均衡解的必要条件之间的关系[相同]由效用极大化问题的一阶必要条件可得：§6.2消费者的效用极大化和支 出极小化问题表明，要达到效用极大化，边际效用与商品价格之比相等。几何解释为：无差异曲线切线斜率与预算线斜率相等，即无差异曲线与预算线相切。由支出极小化问题的一阶必要条件可得：表明，要达到支出极大化，边际效用与商品价格之比相等。几何解释为：预算线斜率与无差异曲线切线斜率相
