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1、第十章双线性函数与辛空间习题精解1、设V是数域P上的一个三维线性空间，，，是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知f(+)=1,f(-2)=-1,f(+)=-3求f(X+X+X).解因为f是V上线性函数，所以有f()＋ f()=1f()-2f()=-1f()+f()=-3解此方程组可得f()＝4，f()＝－7，f()＝－3于是f(X+X+X).＝Xf()＋Xf()＋Xf()＝4X－7X－3X2、设V及，，同上题，试找出一个线性函数f,使f(+)＝f(-2)=0,f(+)=1解设f为所求V上的线性函数，则由题设有f()＋ f
2、()=0f()-2f()=0f()+f()=1解此方程组可得f()＝－1，f()＝2，f()＝1于是aV,当a在V的给定基，，下的坐标表示为a=X+X+X时，就有f(a)=f(X+X+X)=Xf()＋Xf()＋Xf()=-X+2X+X1、设，，是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令1＝－，2＝＋－，3＝＋试证：1，2，3是V的一组基，并求它的对偶基。证：设（1，2，3）＝（，，）A由已知，得A＝因为≠0，所以1，2，3是V的一组基。设g1,g2,g3是1，2，3得对偶基，则（g1,g2,g3）＝（f1,f2,
3、f3）（Aˊ）＝（f1,f2,f3）因此g1=f2-f3g2=f1-f2+f3g3=-f1+2f2-f34.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V中非零向量，试证：∈V，使fi()≠0(i=1,2…,s)证：对s采用数学归纳法。当s＝1时，f1≠0,所以∈V，使fi()≠0，即当s＝1时命题成立。假设当s=k时命题成立，即∈V，使fi()=i≠0(i=1,2…,k)下面证明s=k+1时命题成立。若f()≠0,则命题成立，若f()＝0，则由f≠0知，一定∈V使f()＝b,设fi()=di(i=1,2…,k),于是总可取数c
4、≠0，使ai+cdi≠0(i=1,2…,k)令，则∈V，且fi()=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)f()＝cb≠0即证。5．设1，2，…s是线性空间V中得非零向量，试证：fi()≠0(i=1,2…,s)证：因为V是数域P上得一个线性空间，V是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量，则可定义V的一个线性函数如下：(f)=f()(f∈V)且是V的对偶空间（V)中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V)的映射→是一个同构映射，又因为1，2，…s是V中的非零向量，所以1，2，…s对偶空间V的对偶空间（V)中的非零向量，从
5、而由上题知，f∈V使f()＝i(f)≠0(i=1,2…,s)即证.6.设V＝P[x],对P(x)=C0+C1x+C2x∈V,定义f(p(x))=f(p(x))=f(p(x))=试证f，f，f都是V上线性函数，并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使f，f，f是它的对偶基。证：先证是V上线性函数，即f∈V，对g(x),h(x)∈V,k∈P,由定义有f（g(x)＋h(x)）＝＝＋＝f(g(x))+f(h(x))f(kg(x))==k=kf(g(x))即证f。同理可证f，f∈V。再设p1(x),p2(x),p3(x)
6、为V的一组基，且f，f，f是它的对偶基。若记P1(x)=C0+C1x+C2x则由定义可得f(p(x))=＝C0+C1+C2=1f(p(x))==2C0+2C1+C2=0f(p(x))==-C0+C1-C2=0解此方程组得C0=C1=1,C2=-故P1(x)=1+x-x同理可得p2(x)=-+xp3(x)=-+x-x7.设V是个n维线性空间，它得内积为（，），对V中确定得向量，定义V上的一个函数：（）=（，）1）证明是V上的线性函数2）证明V到V的映射是V到V的一个同构映射（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。）3）证
7、：1）先证明是V上的线性函数，即∈V，对1，2∈V，k∈P，由定义有：（1＋2）＝（，1＋2）＝（，1）＋（，2）＝（1）＋（2）（k1）=（，k1）=k（，1）=k（1）故是V上的线性函数。2）设，…是V的一组标准正交基，且对∈V由定义（）＝（）(i=1,2…,n)知（）＝（，）＝于是，…是，…的对偶基，从而V到V的映射是V与V中两基间的一个双射因此它也是V到V的一个同构映射8．设是数域P上N维线性空间V得一个线性变换。1）证明，对V上现行函数f，f仍是V上的线性函数；2）定义V到自身的映射为f→f证明是V上的线性变换；3
8、）设，…是V的一组基，f，f，f是它的对偶基，并设在，…的矩阵为A。证明：在f，f，…f下的矩阵为A′。证：1）对∈V，由定义知（f）（）＝f（（））是数域P中唯一确定的元，所以f是V到P的一个映射。又因为，∈V，k∈P,有（f）（＋）＝f（（＋））＝f（（）＋（））＝（f）（）＋（f）（
