第十章 双线性函数与辛空间

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1、第十章双线性函数与辛空间§1线性函数定义1设是数域上的一个线性空间，是到的一个映射，如果满足1）;2）,式中是中任意元素，是中任意数，则称为上的一个线性函数.从定义可推出线性函数的以下简单性质：1.设是上的线性函数，则.2.如果是的线性组合：那么例1设是中任意数，是中的向量.函数(1)就是上的一个线性函数.当时，得,称为零函数，仍用0表示零函数.实际上，上的任意一个线性函数都可以表成这种形式.令.第个中任一向量可表成.设是上一个线性函数，则令则就是上述形式.例2是数域上一个级矩阵，设,则的迹是上全体级矩阵构成的线性空间上的一个线性函数.例3设是中一个取定的数.定义上的函数为,即为在点的值，是上

2、的线性函数.如果是数域上一个维线性空间.取定的一组基.对上任意线性函数及中任意向量：都有.(2)因此，由的值唯一确定.反之，任给中个数，用下式定义上一个函数：.这是一个线性函数，并且因此有定理1设是上一个维线性空间，是的一组基，是中任意个数，存在唯一的上线性函数使.§2对偶空间设是数域上一个维线性空间.上全体线性函数组成的集合记作.可以用自然的方法在上定义加法和数量乘法.设是的两个线性函数.定义函数如下：.也是线性函数：.称为与的和.还可以定义数量乘法.设是上线性函数，对于中任意数，定义函数如下：,称为与的数量乘积，易证也是线性函数.容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，成为数域上的线性空间

3、.取定的一组基，作上个线性函数，使得(1)因为在基上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对中向量，有,(2)即是的第个坐标的值.引理对中任意向量，有,(3)而对中任意向量，有.(4)定理2的维数等于的维数，而且是的一组基.定义2称为的对偶空间.由（1）决定的的基，称为的对偶基.以后简单地把的对偶空间记作.例考虑实数域上的维线性空间，对任意取定的个不同实数，根据拉格朗日插值公式，得到个多项式它们满足是线性无关的，因为由用代入，即得.又因是维的，所以是的一组基.设是在点的取值函数：则线性函数满足因此，是的对偶基.下面讨论的两组基的对偶基之间的关系.设是数域上一个维线性空间.及是的两组基.它们

4、的对偶基分别是及.再设其中,由假设,.因此由矩阵乘法定义，即得即定理3设及是线性空间的两组基，它们的对偶基分别为及.如果由到的过渡矩阵为，那么由到的过渡矩阵为.设是上一个线性空间，是其对偶空间，取定中一个向量，定义的一个函数如下：.根据线性函数的定义，容易检验是上的一个线性函数，因此是的对偶空间中的一个元素.定理4是一个线性空间，是的对偶空间的对偶空间.到的映射是一个同构映射.这个定理说明，线性空间也可看成的线性函数空间，与实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.§3双线性函数定义3

5、是数域上一个线性空间，是上一个二元函数，即对中任意两个向量，根据都唯一地对应于中一个数.如果有下列性质：1）;2）,其中是中任意向量，是中任意数，则称为上的一个双线性函数.这个定义实际上是说对于上双线性函数，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.例1欧氏空间的内积是上双线性函数.例2设都是线性空间上的线性函数，则是上的一个双线性函数.例3设是数域上维列向量构成的线性空间.再设是上级方阵.令,(1)则是上的一个双线性函数.如果设，并设则.(2)（1）或（2）实际上是数域上任意维线性空间上的双线性函数的一般形式.可以如下地说明这一事实.取的一组基.设,,则.(3)令,则（3）就成为（1）或（

6、2）.定义4设是数域上维线性空间上的一个双线性函数.是的一组基，则矩阵(4)叫做在下的度量矩阵.上面的讨论说明，取定的一组基后，每个双线性函数都对应于一个级矩阵，就是这个双线性函数在基下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.反之，任给数域上一个级矩阵对中任意向量及，其中，用定义的函数是上一个双线性函数.容易计算出在下的度量矩阵就是.因此，在给定的基下，上全体双线性函数与上全体级矩阵之间的一个双射.在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设及是线性空间的两组基：是中两个向量,那么如果双线性函数在及下的度

7、量矩阵分别为，则有.又.因此这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.定义5设是线性空间上一个双线性函数，如果对任意，可推出，就叫做非退化的.可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数在基下的度量矩阵为，则对,，有如果向量满足,那么对任意都有因此而有非零向量使上式成立的充要条件为是退化的，因此易证双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵.对度量矩阵作合同变