开n次方根的直式计算与原理.doc

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1、補充教材開n次方根的直式計算與原理范志軒編輯壹、二次方根在10進位的數字中，若要建構開次方根號的直式計算，得要先觀察數字在次方運算下的進位規律，譬如以二次方為例：一位數字：二位數字：三位數字：………位數字：上述的規律顯示：或位數字的平方根為位數字，因此若要反向求出二次方根，例如的平方根，可以先觀察到此數為6位數，所以平方根為3位數。其次，若已知的平方根為3位數，如何決定其值？二次方根直式計算法(1)首先，由小數點位置開始向左或向右每二位數標上一撇，由左至右，分成第一小節，第二小節，……，以為例，共可分成三小節，而

2、每一小節恰可計算出平方根的一位數字(2)由第一小節開始，估算出正整數，使得最接近此節的數字將第一小節的數減去，連同次一小節的數字下降至下一列(3)令，估算求出正整數，使得乘以最接近此列上的數用此列上的數減去乘以，再連同次一小節的數字下降至下一列(4)令，估算求出正整數，使得乘以最接近此列上的數用此列上的數減去乘以，再連同次一小節上的數字降下至下一列(5)若此時降下的數字為0，則開二次根號結束，平方根為否則令，繼續上述步驟，直到降下的數字為0或算出所要求的位數為止計算二次方根的原理令，代入上式令，代入上式…………重

3、複上述步驟，直到算出所要求的位數為止由原理對直式運算作檢驗例如對的平方根運算進行觀察…………觀察兩側數字，估算得令，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得令，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得故62251的平方根為貳、三次方根開三次方根的直式運算若是仿照求二次方根的原理與步驟，考慮三次方根的求法，可得以下直式求法：(1)首先，由小數點位置開始向左或向右每三位數標上一撇，由左至右，分成第一小節，第二小節，……，而每一小節恰可計算出立方根的一位數字(2)由第一小節開始，估算出正整數，使得最接近此節的數字並將第

4、一小節的數減去，連同次一小節的數字下降至下一列(3)令，估算求出正整數，使得乘以最接近此列上的數並用此列上的數減去乘以，再連同次一小節的數字下降至下一列(4)令，估算求出正整數，使得乘以最接近此列上的數，並用此列上的數減去乘以，再連同次一小節上的數字降下至下一列(5)若此時降下的數字為0，則開三次根號結束，立方根為否則令，繼續上述步驟，直到降下的數字為0或算出所要求的位數為止例如對開立方根，其直式運算如下：計算三次方根的原理令，代入上式令，代入上式…………重複上述步驟，直到算出所要求的位數為止由原理對直式運算作檢

5、驗例如對的立方根運算進行觀察…………觀察兩側數字，估算得令，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得令，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得故的立方根為參、n次方根很明顯的，由前文中平方根與立方根的求法不難發現，此方法可推廣至n次方根，只要利用二項式定理將展開，首項移至等號左側，而右側則提出，此時令並且估算的值使得等號兩側數字最接近，將代入後乘開，再重複上述步驟直到求出所需要的位數即可，方法雖然有規律性變化，但是從實際的計算中可以發現，在估算最接近數字時，計算過程異常龐大，在進行三次或三次以上方根的計算時，若

6、無計算機協助，以人工進行直式運算顯然不切實際，甚至不如採用十分逼近法恰當，然而在求次方根的過程中，同學仍可觀察到規律變化的優美性質，若是具有程式設計能力的同學，可嘗試設計開n次方根的演算法，這會是一個不錯的練習。