第一节 导数及其基本概念课件.ppt

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1、第二章导数与微分本章在学习过函数与极限两个概念的基础上来研究微分学的两个基本概念——导数与微分.导数——函数的变化率.微分——与导数密切相关，主要指当变量有微小变化时，函数大体上变化多少.1第一节导数及其基本概念内容提要1.导数的概念；2.导数的几何意义；3.可导与连续的关系.教学要求1.深刻理解导数的概念，会用定义求导数（包括分段函数的导数），理解函数可导性与连续性的关系；2.理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线方程和法线方程的方法，能用导数描述一些物理量.21.平面曲线的切线一般曲线的切线定义.一.问题引入34由直线的点斜式方程得切线方程为:5解2.变速直线运动的瞬时速度设一物体作

2、变速直线运动,其运动函数关系为:S=S(t),求物体在时刻时的瞬时速度.s067二.导数及其基本概念8即导数式也可写成：91011注意：2.3.导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度12例1.求函数在x=2处的导数.解132.单侧导数定理即14例2解15例3解163.导函数(简称为导数)如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,称y=f(x)在区间(a,b)内可导.注意:2.联系:即17求导数的三个步骤三.由定义求导数18例4求函数在任意点x处导数.解:(1).求函数的增量Δy.在x处给自变量一个增量Δx,相应的函数的增量为：19例5解20例

3、6解:同理有21例7.解:如即当a=e时,得自然对数的导数22例8.解一般地μ为实数例如:23四.导数的几何意义切线方程为法线方程为24定理如果函数y=f(x)在某点导数存在,那么它一定在该点连续.证:五、可导与连续的关系25由以上可知,如果函数y=f(x)在x处可导,则在x处必连续.但反之不成立,即在x处连续未必在x处可导.例如26凡可导函数都是连续函数.注意:该定理的逆定理不成立.但逆否命题成立即不连续一定不可导.∴　函数连续是可导的必要而不充分条件.27例9解设函数在点x=1处可导,试确定a,b的值.因为函数f(x)在点x=1处可导,所以连续从而又因故得28小结1.导数的实质:增

4、量比的极限;函数的瞬时变化率3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.29作业:P34.习题2-11,2,3,4,6请熟记以下公式30