电磁场与电磁波 ppt 第二章静电场课件.ppt

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1、§2.6唯一性定理1、定理表述静场边值问题是在给出的边界条件下，求泊松方程和拉普拉斯方程的解。在求解静态场边值问题时，如果我们能找出一个函数，既满足定解方程（泊松或拉普拉斯方程），又满足相应的边界条件，则这个函数就是我们所要求的解，而且是唯一的解。这就是唯一性定理。2、静电场边值问题的分类边值问题分为三类，即第一类边值问题：已知整个边界上的位函数——狄利克莱边界条件。第二类边值问题：已知整个边界上的电位法向导数（即电荷面密度）——诺伊曼条件。第三类边值问题：边界上部分电位已知，另一部分上的电位的法向导数已知——混合边界问题。得到格林第一恒等式3、解的唯一性的证明

2、（一）拉普拉斯方程解的唯一性证明而φ和ψ为空间区域内两个任意的标量函数令某矢量场由恒等式和代入散度定理令有又，考虑到（对于拉氏方程）从而得到假设现在有两个满足边界条件的拉普拉斯方程的解，令其分别为Φ、Φ’，因为拉普拉斯方程是线性方程，两个解的差也满足拉普拉斯方程，即下面来证明对于上面的三类边值问题，拉普拉斯方程的解都是唯一的。对于第一类边值问题在边界S上有于是因为左边积分是非负的，故有即但因为在边界上Φ+为零，因此有从而证得对于第一类边界条件，拉普拉斯方程的解是唯一的。对于第二类边值问题由于给定了导体边界面的带电量q,则有其中s为闭合的边界面,因此必有同样得到即

3、第二类边值问题的解也是唯一的。也就是说，Φ和Φ’只相差一个常数对于混合边值问题，只要把上右边的闭合面积分写成各部分表面的面积分之和，对每部分表面应用如上的讨论，便可得到结论。（二）泊松方程解的唯一性的证明对于泊松方程，有同样假设泊松方程有两个都满足边界条件的解Φ和Φ’，即两式相减，得到即泊松方程两个解的差Φ+应是拉普拉斯方程的解。重复上面的过程，同样可以证明泊松方程的解是唯一的。4、解的唯一性的意义静电场边值问题解的唯一性说明：在求解电磁场边值问题时，只要得出的解既满足定解方程，又满足相应的边界条件，这个解就一定是定解问题的唯一解。Example2.10电荷均匀

4、分布于两平行的圆柱面间的区域中，密度为ρ，两圆柱半径分别为a及b，轴线相距c。如图所示，求空间各区域的电位移和电场强度。1、利用叠加原理，将空心部分看成是分别具有电荷密度为ρ和-ρ的两个平行圆柱的叠加,如图所示解：2.利用高斯定律(a) 当r>a时，对于圆柱一，在空间的电场为其中对于圆柱二，在空间的电场为其中最后得到(b)在外圆柱与内圆柱之间，有而E2与（a）相同，从而在内外圆柱之间电场为(c)在空腔内，E1与（b）相同即空腔内电场为均匀场Example2.11一不带电的孤立导体球(半径为a)位于均匀电场中，E＝azE0，如图所示。求电位函数。在没有引入导体球时

5、，均匀电场E的电位函数为解：若取z＝0为电位参考点，则c＝0为什么用球坐标?均匀电场中的导体球当引入一个不带电的小球导体后，球表面出现感应电荷。静电平衡下的导体球为等位体，球内电场为零。在r＞a的空间内，电位由两个部分组成，即为感应面电荷的电位。将导体球心和球坐标原点重合，则虽然感内电荷密度的大小是未知的。但它在球面上的分布一定对称于z=0的平面．上正下负。相当于一些电偶极子对称地分布在z轴的两边，它们在r＞a区域内的电位应为故总电位为由边界条件来确定待定常数k。Ⅰ、在r∞处，感应电荷的影响消失，电位分布仅为上面的电位函数已满足这一条件。Ⅱ、在r=a的导体球面上

6、电位为零,即由此可解得总的电位函数为可以验证,该式满足拉普拉斯方程,自然满足边界条件.显然上式是满足拉普拉斯方程的一个解．根据唯—性定理，它也一定是唯一的解.§2.7电介质的极化.极化强度电介质即绝缘材料．如石英、云母、变压器油、芭麻油、氢和氯等。电介质可以是固体、液体或气体，有趣的是，一般金属蒸汽也是电介质。电介质中的电子受原子该的束缚很强，即使在外电场的作用下电子也不能脱离原于核做宏观运动，只能在原子间隔尺度内作微观位移。电介质分子可分为两类：无极分子和有极分子。无极分子：当外电扬不存在时，电介质中正负电荷的“重心”是重合的,没有等效电偶极矩.然而，由于分子

7、的无规则热运动，各个分子等效电矩的方向是凌乱的，所以无论是整块介质或介质中的某一部分，其中分子等效电偶极矩的矢量和都等于零.有极分子：当外电场不存在时，电介质中的正负电荷‘重心”不重合，因此每个分子可等效为一个电偶极子．1、介质中的极化现象当把介质放在电场中时，介质的分子在电场作用下会发生极化，使得介质中出现电偶极矩，偶极矩的电场叠加于原来的电场上，使电场发生变化。介质的极化有三种不同的现象，它们分别是：电子极化：组成原子的电子云在电场作用下相对于原子核发生位移。——可以认为，原子核不动，位移仅是电子。离子极化：对于离子分子，在电场作用下，正负离子从其平衡位置发

8、生位移形成电偶极矩。在本