特征值问题的计算方法.ppt

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1、第八章特征值问题的计算方法/*ComputationalMethodofEigenvalueProblem*/本章主要介绍矩阵的特征值和特征向量的计算方法。特征值和特征向量的基本概念与性质§1基本概念与性质设，若存在向量和复数满足，则称是矩阵的特征值，是特征值相应的特征向量。特征多项式的根的集合：谱集其中称为的代数重数（简称重数）；为的几何重数。设，对于矩阵的特征值，如果，则称该特征值为的一个半单特征值。若的所有特征值都是半单的，则称是非亏损的。是非亏损的等价条件是有n个线性无关的特征向量设，若存在矩阵，使得则称和是相似

2、的。相似矩阵有相同的特征值设寻求已知矩阵的相似矩阵，要求：矩阵的特征值和特征向量容易计算本章QR算法的基本思想：设，有r个互不相同的特征值，其重数分别为，则一定存在非奇异矩阵使得（Jordan分解）其中且除了的排列次序外，是唯一的。称作的Jordan标准型设，则存在酉矩阵，使得：（Schur分解）其中是上三角矩阵，且适当选择，可使的元素按任意指定的顺序排列。设，令（圆盘定理）/*DiscTheorem*/则设为对称矩阵，则存在正交矩阵（谱分解定理）/*SpectralDecomposition*/其中是的n个特征值。使得设

3、为对称矩阵，且的特征值为（极大极小定理）其中表示中所有k维子空间的全体。则有设为对称矩阵，其特征值分别为（Weyl定理）则有说明：对称矩阵的特征值总是良态的。注意：实际问题中矩阵一般都是由计算或实验得到，本身必然存在误差，不妨假设§2幂法与反幂法/*PowerMethodandReversedPowerMethod*/幂法是计算一个矩阵的模最大的特征值和对应的特征向量的一种迭代方法（又称为乘幂法）。一、幂法的基本思想与算法假设是可对角化的，即存在如下分解：其中不妨假设对于说明：当k充分大时,的一个近似特征向量为特征向量可以

4、相差一个倍数因为向量中含有未知量，实际不能计算但我们关心的仅是的方向，故作如下处理：令其中为的模最大分量幂法迭代算法：Fork=1,2,3,…if输出和设和均收敛，由算法知幂法可以计算矩阵的模最大的特征值和对应的特征向量解：Step1例1：利用幂法求下列矩阵的模最大的特征值及相应的特征向量.(取初始向量为)Step2Step3Step4特征值及相应的特征向量精确值为:幂法的收敛性：设有p个互不相同的特征值满足：且模最大特征值是半单的，如果初始向量在的特征子空间上的投影不为零，则由幂法算法产生的向量序列收敛到的一个特征向

5、量，且数值序列收敛到。特征子空间：证明：设有如下Jordan分解：是属于的Jordan块构成的块上三角矩阵是半单的特征值令将和如下分块：记是属于的一个特征向量几点说明：定理8.2.1条件不满足时，幂法产生的向量序列可能有若干个收敛于不同向量的子序列；幂法的收敛速度取决于的大小；加速方法：适当选取，对应用幂法称之为原点平移法原点平移法不改变矩阵的特征向量幂法可以计算第二个模最大特征值常用的方法：降阶方法（收缩技巧）设已经计算出模最大特征值及其特征向量对向量，采用复的Household变换计算酉矩阵其中是n-1阶方阵为的

6、模最大特征值二、反幂法的基本思想与算法反幂法是求一个矩阵的模最小的特征值和对应的特征向量的一种迭代方法（又称为反迭代法）。设，则对应用幂法就可以求得矩阵的模最小的特征值和相应的特征向量。不妨假设的特征值为则的特征值为反幂法算法：Fork=1,2,3,…if输出和若和均收敛，由幂法知收敛速度取决于的大小反幂法每次迭代都需要求解方程组带位移的反幂法：实际应用中，反幂法主要用于求特征向量。且用某种方法已经得到的特征值的近似值对矩阵采用反幂法迭代格式为：记假设的特征值满足Fork=1,2,3,…因为方程组的系数矩阵Doolit

7、tle分解化为两个三角方是固定的，通常采用(选主元)程组求解，从而减少工作量。求解方程组化为：带位移的反幂法迭代格式：Fork=1,2,3,…收敛速度取决于的大小当时，收敛速度会非常快设矩阵存在Doolittle分解：解：例2：用带位移的反幂法求矩阵）的近似特征向量。对应特征值（精确值为其中Step1反幂法具有一次“迭代性”Step2所求近似特征向量为：§3Jacobi方法Jacobi法：计算实对称矩阵全部特征值和相应特征向量基本思想对存在正交矩阵，满足记则寻找正交相似变换，将矩阵约化为对角阵即可正交相似变换求法：通过G

8、ivens变换来实现经典Jacobi方法设令非对角“范数”当时，趋于一个对角阵先来研究一下矩阵的元素和矩阵的元素之间的关系。Givens变换记为，下面通过Givens变换对矩阵进行约化，使得例如取记选取适当的，由Givens变换将矩阵的下三角元素尽可能多的化为零：即非对角“范数”尽可能的小。如果，则取