教学课件第二节可分离变量微分方程.ppt

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1、一、变量可分离方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：则称原方程为变量可分离的方程。运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：其中C为积分后出现的任意常数。将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，称为分离变量法。第二节、可分离变量微分方程例解原方程即对上式两边积分，得原方程的通解例解对上式两边积分，得原方程的通解隐函数形式经初等运算可得到原方程的通解为你认为做完了没有？原方程的解为例解两边同时积分，得故所求通解为你认为还需要讨论吗？为什么？因为只求通解，所以不必再讨论了。例解原方程即两边积分，得故通解为曲线族的包络。工程技术中解决某些问题时，需要用到方程的奇解。成正比,求解:根据牛顿第二

2、定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时例二、齐次方程齐次方程变量分离方程变量代换代入原方程，得注意：须将u代回.例解于是，原方程化为两边积分，得即例7解是齐次方程,例8解可得OMA=OAM=例在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试

3、求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:利用曲线的对称性,不妨设y>0,积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)顶到底的距离为h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得三、可化为齐次方程的方程齐次方程可化为齐次方程的方程变量代换变量分离方程变量代换三、可化为齐次方程的方程齐次方程可化为齐次方程的方程变量代换变量分离方程变量代换例解于是，原方程变为联立方程组解之，得可化为齐次方程的可化为齐次方程的两边积分，得即你由这个例题的解题过程想到什么了？可化为齐次方程的方程变量可分离方程齐次方程可化为齐次方程的方程一阶齐线性方程一阶非齐线

4、性方程伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换四、一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性微分方程。方程称为一阶齐线性方程。方程称为一阶非齐线性方程。习惯上，称为方程所对应的齐方程。一阶齐线性方程的解运用分离变量法，得两边积分，得故表示一个原函数的解存在，且唯一，其通解为例解故该一阶齐线性方程的通解为套公式！例解先求此一阶齐线性方程的通解：故该初值问题的解为变量可分离方程齐次方程可化为齐次方程的方程一阶齐线性方程一阶非齐线性方程伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换一阶非齐线性方程的解比较两个方程：请问，你有什么想法？请问，你有什么想法？我想：它们的解的形式应该差不多。但

5、差了一点什么东西呢？行吗?!怎么办？故即上式两边积分，求出待定函数以上的推导过程称为“常数变易法”。这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。齐次方程通解非齐次方程特解即例解所以，方程的通解为例解不是线性方程原方程可以改写为这是一个以y为自变量的一阶非齐线性方程，其中故原方程的通解为解例10通解为解例12两边求导，得通解为于是变量可分离方程齐次方程可化为齐次方程的方程一阶齐线性方程一阶非齐线性方程伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换五、伯努利方程形如的方程称为伯努利方程。代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程于是，原方程的通解为例解故

6、从而，原方程的通解为变量可分离方程齐次方程可化为齐次方程的方程一阶齐线性方程一阶非齐线性方程伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换变量可分离方程齐次方程可化为齐次方程的方程一阶齐线性方程一阶非齐线性方程伯努利方程变量代换变量代换变量分离常数变易变量代换例解变量代换原方程即于是，原方程化为运用分离变量法，解得故原方程的通解为不是讲过的类型