弹性力学解题方法问题.ppt

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1、第五章弹性理论的解题方法本章任务总结对弹性力学基本方程讨论求解弹性力学问题的方法目录5.1弹性力学基本方程5.2问题的提法5.3弹性力学问题的基本解法5.4圣维南局部影响原理5.5叠加原理总结弹性力学基本理论；讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。5.1弹性力学基本方程1.平衡方程:弹性体要满足的基本方程张量表示：2.几何方程：弹性体要满足的基本方程张量表示：3.本构方程：弹性体要满足的基本方程广义胡克定律的应力表示张量表示：广义胡克定律的应变表示张量表示：4.变形协调方程位移作为基本未知量时，变形协调方

2、程自然满足。基本方程：平衡微分方程几何方程本构方程变形协调方程（应变作为基本未知量）若物体表面的位移已知，则位移边界条件为物体表面的面力分量为Tx、Ty和Tz已知,则面力边界条件为：5.边界条件若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件5.2弹性力学问题的提法弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，对十五个未知量求解十五个基本方程。求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，在数学上称为偏微分方程的边值问题。

3、按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。第一类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。第二类边值问题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Tx、Ty和Tz，边界条件为面力边界条件。第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。基本解法（1）位移解法：以位移函数作为基本未知量（

4、2）应力解法以应力函数作为基本未知量（3）混合解法以部分位移和部分应力分量作为基本未知量5.3弹性力学问题基本解法位移解法的主要步骤：利用位移函数u1,u2,u3表示其他未知量；推导由位移函数ui描述的基本方程；关键点：以位移表示的平衡微分方程。位移解法的基本方程1.平衡微分方程2.几何方程3.本构方程4.位移边界条件，力边界条件由上式称为应力位移表达式。将(1)代入(2)此式称为位移表示的平衡方程（Leme方程）将应力位移表达式代入平衡方程转换指标注意到：则即得注意有给定位移边界条件就可由Leme方程解出ui=（u,v,w）或ui=（u

5、1,u2,u3）。ui=ui（x，y,z）¯其位移边界条件为：对于用面力表示的边界条件Ti=σijnj此式称为力位移边界条件。注意：则将应力位移表达式代入面力边界条件:有为二阶线性偏微分方程组，其解为齐次解+特解。对于Leme方程齐次方程对求导因则或即因所以有即体积应力满足调和方程。结论即体积应变满足调和方程。对Leme方程进行∇²（调和算子）运算：有所以即这说明应力与应变满足双调和方程。有即由有及即由结论：对于Leme方程其齐次方程有位移分量求解后，可通过几何方程求出应变和通过本构方程求出应力。总之，位移解法以位移为3个基本未知函数（u

6、1,u2,u3），归结为在给定的边界条件下求解位移表示的3个平衡微分方程，即三个拉梅方程。对于位移边界条件，位移解法是十分合适的。至此，我们讨论了弹性力学位移解法的基本方程。除无限大域外，位移解法也适用于全部边界条件为位移边界的情况。然而，对于力边界条件问题，位移解法就显得不够简便。一种变通的方法就是选择应力为求解的场变量。应力需要满足六个平衡方程和三个独立的协调方程，通过这六个方程可以求解出六个应力分量。例设有半空间体，单位体积的质量为，在水平边界面上受均布压力的作用，试用位移法求各位移分量和应力分量，并假设在处方向的位移受均布压力作用

7、的半空间体解：可以假设因此体积应变按位移解题例题对于Leme方程或积分上式有将代入拉梅方程：在边界上，得结合的表达式可得代入由位移表示的边界条件由条件得将常数和代入的表达式，得求应变由广义胡克定律有即位移法其位移边界条件为：给定位移边界条件就可由Leme方程解出。复习:位移法位移分量求解后，可通过几何方程求出应变和通过本构方程求出应力。位移解法以位移为3个基本未知函数（u1,u2,u3），归结为在给定的边界条件下求解位移表示的3个平衡微分方程，即三个拉梅方程。位移解法适用于位移边界条件。对于位移法体力为常量时：由位移法得到：体积应力和体积

8、应变均满足调和（Laplace)方程；即体积应力函数和体积应变函数为调和函数。位移分量,应力分量和应变分量均满足双调和方程；位移分量,应力分量和应变分量为双调和函数。解：由几何方程求应变分量已