《摄动方法》PPT课件.ppt

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1、第六章摄动方法摄动方法是一种重要的应用数学方法，它在力学，物理和众多的工程学科中有着广泛的应用。工程技术中归纳出来的数学模型，其中不少是含有小参数的，且方程的准确解难以获得。利用计算机进行数值积分，虽然可以给出定解问题的数值解，但很难给出物理现象的全貌和一般规律，利用摄动法可以求得解析形式的近似解，对物理系统进行相当精确的定量和定性讨论。这里，主要讨论正则摄动方法和奇异摄动方法。§1正则摄动方法例1：已知初值问题（1）的解试求问题（2）直到一次项的近似解。解：(2)的精确解为将它关于展开设（2）的准确解不知道，于是将（2）的解表示为（3）代入方程有（4）

2、代入初值有（5）比较（3）和（4）的同次幂系数，可得满足的一系列方程，特别有将代入，得这是关于的一阶线性方程，由初值可得所以，直到的一次项的近似解是与前面准确展开的结果一致。说明1：这个例子展开的方法就是正则摄动法（正则扰动法），又叫直接展开法，这个例子可正确求解，但体现的方法和思想可用于那些不能精确求解的问题。说明2：当时，可看出扰动项对问题的解的“影响”，时的问题称未扰动问题（退化问题），取到一次项为止的称为一阶近似。下面通过单摆问题讨论直接展开法的主要步骤和内容：例2：单摆问题：(6)(7)对于要采用摄动法求解的问题，首先要考查问题是否是无量纲化形

3、式?若不是，先进行无量纲化处理。因不同量纲的物理量无法进行量化比较，无量纲化后便于量级比较，从而可以确定哪一个量是小参数。引入无量纲参数：则(6)~(7)化为(8)(9)通过标度变换，或者说无量纲化，可将不含参数的方程(6)化为含小参数的方程(8)，从而可以利用摄动法。直接展开法的主要步骤：第一步：设代入方程(8)得(10)第二步：将所有的项都按小参数(这里是)展开，使每一项都可写成一个的幂级数。利用的展开式，上式中的第二项为：(保留到项)第三步：将方程中的所有同次幂项合并，并令各次幂系数为0，(11)依次有原方程(8)为非线性方程，现已化为一系列的线性

4、方程。第四步：将初值或边值用幂级数展开式代入，得一系列关于的初值或边值方程，由(9)有：比较两边关于的系数有第五步：相继求解前四步得到的方程和初值组成的问题，现在有关于步(即项)没有作修正，将代如的方程有该问题可用常数变易法或系数待定法求解。注意到，得利用初值，得所以，注意到，上面的求解都是形式上的。设(12)由此可得一阶近似：为讨论所求近似解有效性问题，需研究级数(12)的一致收敛性问题，下面来介绍有关概念：定义1：设对任意固定的非负整数，当时，对于一致有则称为当时，在区间上的一致渐近幂级数，记为并称为当时在区间上一致有效的阶渐近近似式。定义2：设有的

5、函数序列：对于任意固定的正整数，满足：又设对任一固定的非负整数当时，对于任意一致地有则称为当时,在区间上一致有效的阶渐近近似式。注意：注意渐近幂级数，渐近展开式，渐近近似式与以前的幂级数的区别。例3：设利用分步积分法有记固定，若时，，则(13)由方法知，级数在时处处发散，说明式(13)不能成立。下面换一个角度考虑问题，固定，由于，有当时，　，(固定)，表明　，充分大时，可用：作为的近似式，记为可见渐近展开式是固定，考虑变化，而幂级数是固定，考虑时的变化。对于前面得到的单摆问题的近似公式:(*)现在用上节课介绍的有关一致有效的阶近似来衡量就有二种情况:(1

6、),(2)。对于(1)，注意到(*)中有的项，当时，对于，则修正量是小的(的项)，即(*)在区间上，当时是一致有效的渐近近似式。对于(2)，时，情况就不同了，对给定的初始角位移时，的振幅会不断增加，从物理上看，这是不合理的，这种近似(或者说修正)是不正确的，应予排除，这一项称为长期项，表明正则摄动法对是失败的，必须引入奇异摄动法。下面来给出正则摄动法的定义：定义：考虑可以是无穷区间，或闭区间，，设为连续函数;对连续，对其余变量在其变化范围内解析，则该问题称为摄动问题，时对应的问题称为退化问题，若问题的解当时，对有一致渐近幂级数，即则称为上的正则摄动，否则

7、称为奇异摄动。下面再考虑一个使正则摄动失效的例子：例4：（1）（2）该问题的解为：(3)设，代入(1)式比较同次幂的系数，有：相应的解展开式(4)可以看出，不管取零阶，一阶或二阶近似，端点条件均不能满足，对大的，当是小量时，渐近解与精确解很接近;在附近，即使很小，两者相称仍很大，在附近，精确解变化迅速，称此区域为边界层。将精确解展开，有(5)对照(4)和(5)，在边界层中，渐近展开式(4)之所以非一致有效，问题就出在(1)中在最高阶导数前有，而0阶近似：，不是常微分方程，失去边界条件。类似的情况对的边值问题也会发生。§2奇异摄动法从前面讨论的正则摄动法看

8、到，有的情况是部分边值不满足，有的是出现了“长期项”，而有的则是展开式中出现了奇